a: BC=căn 15^2+20^2=25cm

AH=15*20/25=12cm

HB=15^2/25=9cm

HC=25-9=16cm

AD là phân giác

=>BD/AB=CD/AC

=>BD/3=CD/4=(BD+CD)/(3+4)=25/7

=>BD=75/7cm; CD=100/7cm

b: ΔAHB vuông tại H có HI là đường cao

nên AI*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao

nên AK*AC=AH^2

=>AI*AB=AK*AC

c: AI*AB=AK*AC

=>AI/AC=AK/AB

=>ΔAIK đồng dạng với ΔACB

Qqqqqqqqqqqqqqqqq

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Biết AB=15cm,HC=16cm.Tính BC,AH,HB,AC.

Xét \(\Delta HAC\)vuông tại H  có HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 

=> HN = NC = NA = ^AC/₂ 

=> AC = 2HN = 8

Tương tự AB = 6

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao thì

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{25}{576}\)

\(\Leftrightarrow AH=\frac{24}{5}\)

Áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta HAC\)vuông tại H có

\(HA^2+HC^2=AC^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{24}{5}\right)^2+HC^2=8^2\)

\(\Leftrightarrow HC=\frac{32}{5}\)

Tương tự \(HB=\frac{18}{5}\)

Đặt BH = x (x > 0) => BC = (x + 6,4)

Có: AB² = BH.BC => 36 = x(x + 6,4) => 36 = x² + 6,4x => x² + 6,4x - 36 = 0

          => (x + 10)(5x - 18) = 0 => x = -10 (loại) hoặc x = 18/5 (nhận)

=> BH = 18/5cm => BC = 18/5 + 6,4 = 10cm

Có: AC² = HC.BC = 6,4 . 10 = 64 => AC = 8cm

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}=\frac{25}{576}\Rightarrow AH=\sqrt{\frac{576}{25}}=\frac{24}{5}cm\)

         Vậy BC = 10cm , BH = 18/5cm , AH = 24/5cm , AC = 8cm

\(\Delta ABC\)có A=90 và AH là đường cao

Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hingf chiếu của nó trên cạnh huyền

 => \(AB^2=CH.BC\);  \(AC^2=HC.BC\)

<=>  \(AB^2=\left(BC-CH\right)BC\)

 <=>\(BC^2=AB^2+CH.BH\)

=>\(BC^2=6^2+6,4.BC\)

<=> \(BC^2-6,4.BC-36=0\)

=> BC = 10(cm) (nhận)  :  BC=- 3,6 (cm) (loại)

=> \(AC=\sqrt{CH.BC}=\sqrt{6,4.10}=8\)(cm)

=>BH=  BC - CH =10 - 6,4 = 3,6 (cm)

Áp dụng hệ thức giữa đường cao và các cạnh trong tam giác 

=> AH.BC =AB.AC

=>AH = \(\frac{AB.AC}{BC}=\frac{6.8}{10}=4.8\left(cm\right)\)

Vậy AH =4,8 (cm) ;  BC = 10 (cm)  ; AC =8(cm)  ; BH = 3,6 (cm)

AH^2=9.16 => AH= 12