\(5x^4+y^2-4x^2y-85=0\)

\(\left(2x^2\right)^2-2.2x^2.y+y^2+x^4=85\)

\(\left(2x^2-y\right)^2+x^4=85\)

Mà \(85=2^2+3^4=\left(-2\right)^2+\left(-3\right)^4\)

Vì phương trình nghiệm nguyên nên:

\(\left(2x^2-y\right)^2+x^4=2^2+3^4\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x^2-y=2\\x=3\end{cases}}\)     hoặc      \(\orbr{\begin{cases}2x^2-y=3\\x=2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2.3^2-y=2\\x=3\end{cases}}\)   hoặc       \(\orbr{\begin{cases}2.2^2-y=3\\x=2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}18-y=2\\x=3\end{cases}}\)      hoặc         \(\orbr{\begin{cases}8-y=3\\x=2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=16\\x=3\end{cases}}\)                hoặc         \(\orbr{\begin{cases}y=5\\x=2\end{cases}}\)

Vậy..............

Đặt \(x^2=a\ge0\)

\(PT\Leftrightarrow5a^2+y^2-4ay-85=0\)

        \(\Leftrightarrow y^2-4ay+5a^2-85=0\)

PT có nghiệm <=> \(\Delta'\ge0\)

                     \(\Leftrightarrow4a^2-\left(5a^2-85\right)\ge0\)

                     \(\Leftrightarrow-a^2+85\ge0\)

                     \(\Leftrightarrow0\le a^2\le85\)

                     \(\Leftrightarrow0\le x^4\le85\)

                     \(\Leftrightarrow0\le x\le\sqrt[4]{85}\)

                \(\Rightarrow x\in\left\{0;1;2;3\right\}\)

     3.  \(x=2\Rightarrow y=8-\sqrt{69}hoặcy=8+\sqrt{69}\left(loại\right)\)​  

     4.  \(x=3\Rightarrow y=16hoặcy=20\left(tm\right)\)

Vậy (x;y):(3;16),(3;20)

5x⁴ - 4x²y + y² - 85 = 0

<=> (2x² - y)² + x⁴ = 85

Từ đây ta có x⁴ \(\le85\)

<=> \(0\le x^2\le9\)

Kết hợp với việc 85 phải là tổng của 2 bình phương ta suy ra

\(\hept{\begin{cases}\left(2x^2-y\right)^2=4\\x^4=81\end{cases}}\)

Giải tiếp suy ra nghiệm nguyên cần tìm

\(5x^4+y^2-4x^2y+y^2-85=0\)

\(\Leftrightarrow4x^4+y^2-4x^2y=85-x^4\)(*)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-y\right)^2=85-x^4\)

ta thấy: \(\left(2x^2-y\right)^2\ge0\)

nên : \(85-x^4\ge0\Leftrightarrow0\le x^4\le85\)

\(\Leftrightarrow x^4\in\left\{1;16;81\right\}\) \(\Leftrightarrow x\in\left\{\pm1;\pm2;\pm3\right\}\)

Thay từng giá trị x vào (*) , tìm y

5x⁴ + y² - 4x²y - 85 = 0

<=> (4x² - 4x²y + y²) + x⁴ = 85

<=> (2x² - y)² + x⁴ = 85

Lại có: 85 = 4 + 81

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^4=81\\\left(2x^2-y\right)^2=4\end{matrix}\right.\)

Tự giải nốt

\(5x^4+y^2-4x^2y-85=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^4-4x^2y+y^2\right)+x^4=85\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-y\right)^2+x^4=85\)\(\left(=2^2+3^4\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\\left|2x^2-y\right|=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\18-y=\pm2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\\left[{}\begin{matrix}y=16\\y=20\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\left(n\right)\)

Vậy . . . >///<