cho tam giác nhọn ABc có trực tâm H, trọng tâm I. Giao điểm 3 đường trung trực là O, trung điểm của BC là M. Tính giá trị biểu thức \(\sqrt{\frac{IO^2+OM^2}{IH^2+HA^2}}\)
Gọi N là trung điểm của AC. Nối N với O và M.
Do H là trực tâm \(\Delta\)ABC => ^BAH + ^ABC = 900 (1)
Dễ thấy MN là đường trung bình \(\Delta\)ABC => MN // AB => ^NMC = ^ABC (2)
Lại có: ^NMO + ^NMC = 900 (3)
Từ (1); (2) và (3) => ^BAH = ^NMO. Tương tự: ^ABH = ^MNO
=> \(\Delta\)AHB ~ \(\Delta\)MON (g.g) => \(\frac{AH}{MO}=\frac{AB}{MN}=2\)(Do MN là đg trung bình \(\Delta\)ABC)
\(\Rightarrow\frac{AH}{MO}=\frac{AI}{MI}=2\)(Vì I là trọng tâm và AM là trung tuyến \(\Delta\)ABC)
Xét \(\Delta\)AHI và \(\Delta\)MOI: ^HAI = ^OMI (Do AH // OM); \(\frac{AH}{MO}=\frac{AI}{MI}\)=> \(\Delta\)AHI ~ \(\Delta\)MOI (c.g.c)
\(\Rightarrow\frac{IH}{IO}=\frac{IA}{IM}=2\Rightarrow IH^2=4.IO^2\).Tương tự \(HA^2=4.OM^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{IO^2+OM^2}{IH^2+HA^2}}=\sqrt{\frac{IO^2+OM^2}{4\left(IO^2+OM^2\right)}}=\frac{1}{2}.\)
ĐS: 1/2.
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi H,G,O lần lượt là trực tâm , trọng tâm giao điểm ba đường trung trực của tam giác do. tia AG cắt BC ở M. Gọi I là trung điểm cua GA, K là trung điểm của GH. Chứng minh
a) OM=1/2 AH
b) Tam giác IGK= Tam giác MGO
c) Ba điểm H,G,O thẳng hàng
d) GH = 2GO
a/
O là giao 3 đường trung trực nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC
Nối AO cắt đường trong (O) tại E ta có
\(\widehat{ABE}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow BE\perp AB\)
H là trực tâm tg ABC \(\Rightarrow CH\perp AB\)
=> BE//CH (1)
Ta có
\(\widehat{ACE}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow CE\perp AC\)
H là trực tâm tg ABC \(\Rightarrow BH\perp AC\)
=> CE//BH (2)
Từ (1) và (2) => BHCE là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)
Do trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà G là trọng tâm tg ABC => M là trung điểm BC => M cũng là trung điểm của HE => MH = ME
Xét tg AHE có
MH=ME (cmt)
OA=OE
=> OM là đường trung bình của tg AHE \(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AH\)
b/
Ta có M là trung điểm của BC (cmt) => OM là đường trung trực của BC \(OM\perp BC\)
\(AH\perp BC\)
=> OM//AH
Xét tg AGH có
IA=IG (gt)
KH=KG (gt)
=> IK là đường trung bình của tg AGK => IK//AH mà OM//AH (cmt)
=> IK//OM \(\Rightarrow\widehat{GIK}=\widehat{GMO}\) (góc so le trong) (4)
IK là đường trung bình của tg AGH \(\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}AH\) mà \(OM=\dfrac{1}{2}AH\) (cmt) => IK = OM (5)
G là trong tâm tg ABC => \(GM=\dfrac{1}{2}AG\) mà \(IG=\dfrac{1}{2}AG\)
=> IG=GM (6)
Từ (4) (5) (5) => tg IGK = tg MGO (c.g.c)
c/
Nối H với O cắt AM tại G' Xét tg AHE
MH=ME (cmt) => AM là trung tuyến của tg AHE
OA=OE => HO là trung tuyến của tg AHE
=> G' là trọng tâm của tg AHE \(\Rightarrow G'M=\dfrac{1}{3}AM\)
Mà G là trọng tâm của tg ABC \(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}AM\)
\(\Rightarrow G'\equiv G\) => H; G; O thẳng hàng
d/
Do G là trọng tâm của tg AHE => GH=2GO
Cho tam giác nhọn ABC ( tam giác thường). Họi H,G,O theo thứ tự là trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba đường trung trực của tam giác. Tia AG cắt BC ở M. Gọi I là trung điểm của GH. Chứng minh:
a) OM = 1/2 AH
b) tam giác IGK = tam giác MGO
c) Ba điểm H,O,G thẳng hàng
d) GH=2GO
Muốn gải thì phải tự kẻ hình, chứ người ta lười vẽ lắm
cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H trọng tâm I giao điểm cuả 3 đương trung trực là O trung diểm của BC là M
tính giá trị biểu thức \(\sqrt{\frac{OI^2+OM^2}{IH^2+HA^2}}\)
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm I; giao điểm 3 đường trung trực là O, trung điểm BC là M. tính giá trị biểu thức: \(\sqrt{\frac{OI^2+OM^2}{IH^2+HA^2}}\)
Cho tam giác ABC nhọn, H,G,O lần lượt là trực tâm, trọng tâm và giao của 3 đường trung trực của tam giác ABC, M là trung điểm của BC.
a, Chứng minh rằng OM=1/2 AH
b, E,F lần lượt là trung điểm của AG,HG
chứng minh: tam giác EFG = tam giác MOG
c, Chứng minh: H,G,O thẳng hàng
) Gọi M là trung điểm BC. Lấy điểm D sao cho O là trung điểm CD
Xét Δ BCD có M là trung điểm BC, O là trung điểm CD OM là đường trung bình của Δ BCD
OM=12DB và OM // DB
mà OM⊥BC ( OM là đường trung trực của BC ) DB⊥BC
mà AH⊥BC( AH là đường cao của ΔABC ) AH // DB
Xét ΔABH và ΔBAD có
HABˆ=DBAˆ( 2 góc so le trong do AH // DB )
AB chung
ABHˆ=BADˆ( 2 góc so le trong do AH // DB )
ΔABH=ΔBAD( g-c-g )
AH = BD mà OM=12DB OM=12AH
AH = 2 OM ( đpcm )
b) Gọi G' là giao điển của AM và OH, P là trung điểm G'H, Q là trung điểm G'A
Xét Δ AG'H có P là trung điểm G'H, Q là trung điểm G'A PQ là đường trung bình của \large\Delta AG'H
PQ=12AH và PQ // AH
Do PQ=12AH mà OM=12AH PQ = OM
Do AH // OM ( cùng ⊥BC ) mà PQ // AH PQ // OM
Xét ΔPQG′ và ΔOMG′ có
PQG′ˆ=OMG′ˆ( 2 góc so le trong do PQ // OM)
PQ = OM (c/m trên )
QPG′ˆ=MOG′ˆ ( 2 góc so le trong do PQ //OM )
ΔPQG′=ΔOMG′( g-c-g )
G'Q = G'M và G'P = G'O
Ta có G'Q = G'M mà G′Q=12G′A( Q là trung điểm G'A ) G′M=12G′Amà G'M + G'A = AM
G′A=23AM mà AM là trung tuyến của ΔABC
G' là trọng tâm của ΔABC ,mà G là trọng tâm của ΔABC G′≡ G
mà G′∈OH G∈OH O, H, G thẳng hàng ( đpcm )
Hên xui nghe bạn ^ ^
Quyết Kiếm Sĩ:hên sui cái j copy trên mạng mà nổ wa :D
hình như Quyết kiếm sĩ sai rồi ấy
dòng 9 ấy
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn , trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C tại D.
1) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
2) Gọi M là trung điểm BC, O là trung điểm AD. Chứng minh 2 OM = AH
3) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng.
Bạn tự vẽ hình nhé!
À mà mình chỉ giải cho bạn câu 1 và 2 thôi câu 3 mình đang suy nghĩ hình rối quá
1) Gọi AD và BE lần lượt là hai đường cao của \(\Delta\) ABC .
Theo đề hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H hay H là trực tâm của \(\Delta\) ABC
=> CH là đường cao thứ 3 của \(\Delta\) ABC
=> CH \(\perp\) AB (1)
mà BD \(\perp\) AB (gt) => CH//BD
Có BH \(\perp\) AC (BE là đường cao)
CD \(\perp\) AC
=> BH//CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra : Tứ giác BHCD là hình bình hành
2) Có BHCD là hình bình hành nên 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà M là trung điểm của BC => M cũng là trung điểm của HD hay HM = DM
Có O là trung điểm của AD hay OA = OD
Xét \(\Delta\) AHD có:
HM = DM
OA = OD
=> OM là đường trung bình của \(\Delta\) AHD
=> OM = \(\frac{1}{2}\) AH hay AH = 2 OM
XONG !!
Cho tam giác ABC có A>90. H là trực tâm. O là giao điểm 3 đường trung trực. Vẽ D sao cho O là trung điểm AD
a) C/m: BH//CD; BH=CD
b) Kẻ OM vuông góc với BC. C/m: M là trung điểm HD
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. C/m: H,G,O thẳng hàng
a) Chứng minh BH//CD và BH=CD:
Vì O là giao điểm 3 đường trung trực nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì A>90 nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm ngoài tam giác ABC.
Vì H là trực tâm nên AH ⊥ BC và AH cắt BC tại D.
Vì O là trung điểm AD nên OD = AO.
Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên OB = OC.
Từ đó suy ra OB = OC = OD = AO.
Vậy tứ giác OBCD là tứ giác nội tiếp.
Do đó, ta có: (BHCD) => ∠BHC + ∠BDC = 180°
Mà ∠BHC + ∠BDC = 90° + 90° = 180°
Vậy BH // CD và BH = CD.
b) Chứng minh M là trung điểm HD:
Vì OM ⊥ BC và H là trực tâm nên HM // BC.
Vì HM // BC và BH // CD nên HM // CD.
Do đó, ta có: (HMD) => ∠HMD + ∠HCD = 180°
Mà ∠HMD + ∠HCD = 90° + 90° = 180°
Vậy HM // CD và HM = CD/2.
Do đó, M là trung điểm HD.
c) Chứng minh H, G, O thẳng hàng:
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Ta có: EG // HO và EG = (2/3)HO
Do đó, ta có: H, G, O thẳng hàng.
Cho tam giác ABC, O là giao điểm các đường trung trực, H là trực tâm, M là trung điểm cạnh BC, gọi K là điểm đối xứng của H qua M. CMR:
a) OM=1/2AH
b)Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.Chứng minh H,G,O thẳng hàng.
