Đặt A = \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\)

A = \(\left(1+\frac{a+b}{a}\right)\left(1+\frac{a+b}{b}\right)\)(Vì a + b = 1)

A = \(\left(2+\frac{b}{a}\right)\left(2+\frac{a}{b}\right)\)

A = \(4+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}+1\)

A = \(5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)

Vì a, b dương nên áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương, ta được :

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{ba}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2.1=2\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge4+5\)

\(\Leftrightarrow A\ge9\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b > 0

Vậy \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\)với a, b là các số dương và a + b = 1

Tớ quên. Dấu bằng xảy ra

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b>0\\a+b=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Một cách khác :))

Ta có : \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}\)

Theo bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có : \(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{a+b}=4\)(1)

Theo bđt AM-GM ta có : \(ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)=> \(\frac{1}{ab}\ge4\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}\ge1+4+4=9\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 1/2

Đề phải là : cmr : (a+b+c).(1/a + 1/b + 1/c) >= 9

Áp dụng bđt cosi cho lần lượt 3 số a,b,c > 0 và 3 số 1/a ; 1/b ; 1/c > 0 thì :

(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c)

>= \(3\sqrt[3]{a.b.c}\).  \(3\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}\) =  \(3\sqrt[3]{abc}\).  \(3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)=  \(9\sqrt[3]{abc.\frac{1}{abc}}\)=  9

=> đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0

Tk mk nha

Bạn giải là ý b), ý a) vẫn đúng đề

Ta có \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\)       (1)

\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}\ge9\)

\(\Leftrightarrow ab+a+b+1\ge9ab\) (vì ab > 0)

\(\Leftrightarrow a+b+1\ge8ab\Leftrightarrow2\ge8ab\) (vì a + b = 1)

\(\Leftrightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)   (vì a + b = 1)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)  (2)

Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương, vậy bất đẳng thức (1) được chưng minh.

1+1/a= 1+ (a+b)/a = 2+b/a

tương tự: 1+1/b= 2+a/b

nhân 2 đa thức với nhau đc : 5+2a/b+2b/a=5+2(a/b+b/a)

áp dụng bđt cô si a/b+b/a >=2     =) 5+2(a/b+b/a)>=9 (dấu = xảy ra khi a-b=1/2)

\(LSH=\left(2+\frac{b}{a}\right)\left(2+\frac{a}{b}\right)=5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge5+2.2=RHS\)

Do \(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow0< a;b;c< \sqrt{3}\)

Với a;b;c thuộc khoảng đã cho, ta luôn có: \(2a+\frac{1}{a}\ge\frac{a^2+5}{2}\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(\Leftrightarrow-a^3+4a^2-5a+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2-a\right)\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với \(0< a< \sqrt{3}\) )

Tương tự ta có: \(2b+\frac{1}{b}\ge\frac{b^2+5}{2}\) ; \(2c+\frac{1}{c}\ge\frac{c^2+5}{2}\)

Cộng vế với vế: \(VT\ge\frac{a^2+b^2+c^2+15}{2}=9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

B1: https://olm.vn/hoi-dap/question/133327.html

B2: áp dụng bđt Bu-nhi-a-cop-xki với 2 bộ số (a;b) và (c;d) ra luôn

điều kiện ?

Bài 1:

Ta có:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow1+1+1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\ge9\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge6\)

Vậy ta cần chứng minh: \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge6\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{b}{a}\); \(\frac{a}{c}\) và \(\frac{c}{a}\); \(\frac{b}{c}\) và \(\frac{c}{b}\) ta có:

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(1\right)\\\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\left(2\right)\\\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge6\) (luôn đúng)

Vậy \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\) (Đpcm)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

\(\frac{yz}{xyz}+\frac{xz}{xyz}+\frac{xy}{xyz}=0\)

\(\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)

yz + xz + xy = 0

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=x^2+y^2+z^2+2\times\left(xy+xz+yz\right)=x^2+y^2+z^2+2\times0=x^2+y^2+z^2\left(\text{đ}pcm\right)\)

a) Từ giả thiết suy ra: xy + yz + zx = 0

Do đó:

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2\)

b) Đặt \(\frac{1}{a-b}=x\); \(\frac{1}{b-c}=y\); \(\frac{1}{c-a}=z\)

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=a-b+b-c+c-a=0\)

Theo câu a ta có: \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)

Suy ra điều phải chứng minh

a)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

\(\Rightarrow\frac{xy+yz+xz}{xyz}=0\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz=0\)

\(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)

Do \(xy+yz+xz=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2\) ( đpcm )

b)

\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}=\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2\)

\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}+\frac{2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{2}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{2}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=0\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{1}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{1}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=0\)

\(\Rightarrow\frac{\left(c-a\right)^2\left(b-c\right)\left(a-b\right)+\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)\left(c-a\right)+\left(b-c\right)^2\left(a-b\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}=0\)

\(\Rightarrow\frac{\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left[\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)\right]}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}=0\)

\(\Rightarrow\frac{\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left[\left(-a+a\right)+\left(-b+b\right)+\left(-c+c\right)\right]}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}=0\)

\(\Rightarrow\frac{\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right).0}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}=0\)

\(\Rightarrow0=0\) ( đpcm )