thật ra nó là lớp 7 đấy nhưng mình nghĩ lớp 8 mới giỏi mói giải đc

Giả sử \(a^2+1\) và \(b^2+1\) cùng chia hết cho số nguyên tố p

\(\Rightarrow a^2-b^2⋮p\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b⋮p\\a+b⋮p\end{matrix}\right.\).

+) Nếu \(a-b⋮p\) thì ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)-\left(a-b\right)^2⋮p\Rightarrow\left(ab+1\right)^2⋮p\Rightarrow ab+1⋮p\) (vô lí do (a - b, ab + 1) = 1)

+) Nếu \(a+b⋮p\) thì tương tự ta có \(ab-1⋮p\). (vô lí)

Do đó \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\).

Giả sử \(\left(a+b\right)^2+\left(ab-1\right)^2=c^2\) với \(c\in\mathbb{N*}\)

Khi đó ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=c^2\).

Mà \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\) nên theo bổ đề về số chính phương, ta có \(a^2+1\) và \(b^2+1\) là các số chính phương.

Đặt \(a^2+1=d^2(d\in\mathbb{N*})\Rightarrow (d-a)(d+a)=1\Rightarrow d=1;a=0\), vô lí.

Vậy ....

thtfgfgfghggggggggggggggggggggg

(a²+1)(b²+1)(c²+1)

=(a²+ab+bc+ca)(b²+ab+bc+ca)(c²+ab+bc+ca)

=ab.bc.ca.ab.bc.ca

=(ab.bc.ca)²

suy ra ĐPCM

Em không chắc đâu ạ.

\(PT\Leftrightarrow a^2+b^2+1-2ab-2a-2b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2-2\left(a+b\right)+1=0\)

Pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(a+b\right)^2-\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4ab\ge0\Leftrightarrow ab\ge0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}}\)

Với a = 0 thì \(b^2-2b+1=0\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2=0\Leftrightarrow b=1\)

Khi đó a,b là hai số chính phương liên tiếp (1)

Tương tự ta cũng có với b = 0 thì a = 1.

Khi đó a,b là hai số chính phương liên tiếp (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm.

Ơ chết,hình như mình sai thì phải

vì a+b=-2 suy ra -2-a

suy ra ab-1=a(-2-a)-1

vì ab -1 là scp

suy ra a(-2-a)-1 là scp 

mà a(-2-a)-1 =-2a-a^2-1

=-(a^2+a+a+1)

= -[(a^2+a)+(a+1)]

=-[a(a+1)+(a+1)]

=-(a+1)^2

suy ra -(a+1)^2 là scp

vì (a+1)^2>=0 với mọi a

suy ra -(a+1)^2<= 0

mà -(a+1)^2 là scp

suy ra -(a+1)^2=0

suy ra a=-1

suy ra b=-1

vậy a=b=-1

CHÚC BẠN HỌC TỐT

k cho mik nha

\(M=\left(ab+bc+ca+a^2\right)\left(ab+bc+ca+b^2\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)\)

\(=\left[b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)\right]\left[a\left(b+c\right)+b\left(b+c\right)\right]\left[b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)\right]\)

\(=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)

\(=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)

=>đpcm