\(\frac{x}{8}-\frac{1}{2}=\frac{1}{y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{8}-\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{xy-8}{8y}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(xy-8\right)=8y\)

\(\Leftrightarrow2xy-16=8y\)

\(\Leftrightarrow2xy-8y=16\)

\(\Leftrightarrow2y\left(x-4\right)=16\)

\(\Leftrightarrow y\left(x-4\right)=8=1.8=8.1=\left(-1\right)\left(-8\right)=\left(-8\right)\left(-1\right)=2.4=4.2=\left(-2\right)\left(-4\right)=\left(-4\right)\left(-2\right)\)

Còn lại tự lập bảng nha!

                                                         Bài giải

\(\frac{x}{8}-\frac{1}{2}=\frac{1}{y}\)

\(\frac{x}{8}-\frac{4}{8}=\frac{1}{y}\)

\(\frac{x-4}{8}=\frac{1}{y}\)

\(xy-4y=8\)

\(y\left(x-4\right)=8\)

\(\Rightarrow\text{ }y,\left(x-4\right)\inƯ\left(8\right)\)

Mà x ; y là số nguyên dương nên :

Ta có bảng :

\(\Rightarrow\text{ }\left(x\text{ ; }y\right)=\left(5\text{ ; }8\right)\text{ ; }\left(6\text{ ; }4\right)\text{ ; }\left(8\text{ ; }2\right)\text{ ; }\left(12\text{ ; }1\right)\)

Do x,y là các số nguyên dương nên \(\frac{1}{x}\ge1;\frac{1}{y}\ge1\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2>\frac{1}{2}\)

nhầm xíu.thông cảm nha.để tớ làm lại=((

                              Lời giải

Vai trò của x;y là bình đẳng.Giả sử \(x\ge y>0\).

Hiển nhiên,ta có: \(\frac{1}{y}< \frac{1}{2}\Rightarrow y>2\)

Ta có: \(\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}\Rightarrow y\le4\)

Kết hợp đk y nguyên dương suy ra \(3\le y\le4\)

Suy ra y = 3 hoặc y = 4

Với y = 4 thì x =4

Với y = 3 thì x = 6

Vậy \(\left(x;y\right)=\left\{\left(4;4\right),\left(3;6\right),\left(6;3\right)\right\}\)

Câu 2/ 

\(\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=1\)

Điều kiện \(\hept{\begin{cases}x^2\ne0\\x^2+y^2\ne0\\x^2+y^2+z^2\ne0\end{cases}}\)

Xét \(x^2,y^2,z^2\ge1\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2\ge1\\x^2+y^2\ge2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2\left(x^2+y^2\right)\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}\le\frac{1}{2}\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{6}\left(2\right)\\\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{3}\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được

\(\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=1\)

Dấu = xảy ra  khi \(x^2=y^2=z^2=1\)

\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=?\)

Xét \(\hept{\begin{cases}x^2\ge1\\y^2=z^2=0\end{cases}}\) thì ta có

\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^4}=1\)

\(\Leftrightarrow x^4=3\left(l\right)\)

Tương tự cho 2 trường hợp còn lại: \(\hept{\begin{cases}x^2,y^2\ge1\\z^2=0\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}x^2,z^2\ge1\\y^2=0\end{cases}}\)

Bài 2/

Ta có:  \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{t}+\frac{t}{x}\ge4\sqrt[4]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{t}.\frac{t}{x}}=4>3\)

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Em mới học lớp 5 thôi nên em không biết cái gì 

~~~ Chúc chị học giỏi ~~~

Bài 1 sai đề

Bài 2: 

Có: \(\frac{1}{x}=\frac{y}{2}-1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{y-2}{2}\)

\(\Rightarrow x\left(y-2\right)=2\)

Bài2(tiếp): Vì x, y nguyên dương nên x=2;y-2=1 hoặc x=1; y-2=2

Xét: y-2=1

y=3

Suy ra: cặp (x;y) TM là (2:3)

Xét: y-2=2

y=4

Suy ra: cặp (x,y) TM là (1;4)

Vậy cặp số (x,y) TM là (2;3); (1;4)

Ủa, câu 1 đâu có sai đề đâu bạn ?

ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\)

         =>\(\frac{x+y}{xy}=2\)

         => \(x+y=2xy\)   

         => \(x+y-2xy=0\)

         => \(x\left(1-2y\right)+y=0\)

        => \(2x\left(1-2y\right)+2y=0\)

        => \(2x\left(1-2y\right)+2y-1=-1\)

         => \(\left(2x-1\right)\left(1-2y\right)=-1\)

         => \(\left(2x-1\right)\left(2y-1\right)=1\)

        Vì x,y là số nguyêm nên 2x-1,2y-1 là ước của 1 nên ta có bảng sau 

kết hợp vơi đk \(x,y\ne0\)=> x=1,y=1 

Ta có :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\)

\(\Rightarrow\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}=2\)

\(\Rightarrow\frac{y+x}{xy}=2\)

\(\Rightarrow2xy=y+x\)

\(\Rightarrow2xy-y-x=0\)

\(\Rightarrow y\left(2x-1\right)-x=0\)

\(\Rightarrow y\left(2x-1\right)-\frac{1}{2}\left(2x-1\right)-\frac{1}{2}=0\)

\(\Rightarrow\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(2x-1\right)=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\left(2y-1\right)\left(2x-1\right)=1\)

vì x,y \(\in\)Z nên \(2y-1;2x-1\)\(\in\)Ư ( 1 ) = { 1 ; -1 }

+) 2y - 1 = 1 thì y = 1 khi đó 2x - 1 = 1 => x = 1 ( chọn )

+) 2y - 1 = -1 thì y = 0 khi đó 2x - 1 = -1 thì x = 0 ( loại ) 

Vậy ( x ; y ) = ( 1 ; 1 )

áp dùng BDT cô si chúa Pain có

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2y^2}}=\frac{2}{xy}\Rightarrow xy\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\ge2.\)

mà \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{xy}{2}\ge\Rightarrow xy\ge4\)

b)

áp dụng BDT cô si ta có

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

lấy từ câu A ta có \(xy\ge4\) " câu a"

suy ra

\(x+y\ge2\sqrt{4}=4\)

(x^2-2+1/x^2 ) +( y^2-2+1/y^2) +(z^2-2+1/z^2) =0

=> (x-1/x)^2 +(y-1/y)^2+(z-1/z)^2=0

suy ra x-1/x=0 

          y-1/y=0

         z-1/z=0

.....

Ta có: \(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{x^2.\frac{1}{x^2}}=2\)

\(y^2+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{y^2.\frac{1}{y^2}}=2\)

\(z^2+\frac{1}{z^2}\ge2\sqrt{x^2.\frac{1}{z^2}}=2\)

\(\Rightarrow VT\ge6\)

Dấu "=" khi \(\orbr{\begin{cases}x=y=z=1\\x=y=z=-1\end{cases}}\)