a: Kẻ CO cắt BD tại E

Xét ΔOAC vuông tại A và ΔOBE vuông tại B có

OA=OB

góc COA=góc EOB

Do đó: ΔOAC=ΔOBE

=>OC=OE

Xét ΔDCE có

DO vừa là đường cao, vừalà trung tuyến

nên ΔDEC cân tại D

=>góc DCE=góc DEC=góc CAO

=>CO là phân giác của góc DCA

Kẻ CH vuông góc với CD

Xét ΔCAO vuông tại A và ΔCHO vuông tại H có

CO chung

góc ACO=góc HCO

DO đó: ΔCAO=ΔCHO

=>OA=OH=OB và CH=CA

Xét ΔOHD vuông tại H và ΔOBD vuông tại B có

OD chung

OH=OB

Do đó: ΔOHD=ΔOBD

=>DH=DB

=>AC+BD=CD
b: Gọi M là trung điểm của CD

Xét hình thang ABDC có

O,M lần lượt là trung điểm của AB,CD

nên OM la đường trung bình

=>OM//AC//BD

=>OM vuông góc với AB

=>CD là tiếp tuyến của (O)

c: AC*BD=CH*HD=OH^2=R^2=AB^2/4

a) Vẽ tia CO cắt tia đối của tia By tại E

Xét tam giác vuông AOC và tam giác vuông BOE có : 

AO = OB ( gt ) 

AOC = BOE ( 2 góc đối đỉnh ) 

\(\implies\)  tam giác vuông AOC = tam giác vuông BOE ( cạnh huyền - góc nhọn ) 

\(\implies\) AC = BE ( 2 cạnh tương ứng ) 

Xét tam giác vuông DOC và tam giác vuông DOE có : 

OD chung 

OC = OE ( tam giác vuông AOC = tam giác vuông BOE ) 

\(\implies\) tam giác vuông DOC = tam giác vuông DOE ( 2 cạnh góc vuông ) 

\(\implies\) CD = ED ( 2 cạnh tương ứng ) 

Mà ED = EB + BD 

\(\implies\) ED = AC + BD 

\(\implies\) CD = AC + BD 

c) Xét tam giác DOE vuông tại O có : 

OE² + OD² = DE² ( Theo định lý Py - ta - go ) 

 Xét tam giác BOE vuông tại B có : 

OB² + BE² = OE² ( Theo định lý Py - ta - go ) ( * ) 

 Xét tam giác BOD vuông tại B có : 

OB² + BD² = OD² ( Theo định lý Py - ta - go ) ( ** )

Cộng ( * ) với ( ** ) vế với vế ta được : 

OE² + OD² = 2. OB² + EB² + DB² 

Mà OE² + OD² = DE² ( cmt ) 

\(\implies\) DE² = 2. OB² + EB² + DB² 

                 = 2. OB² + EB . ( DE - BD ) + DB . ( DE - BE ) 

                 = 2. OB² + EB . DE - EB . BD + DB . DE - DB . BE 

                 = 2. OB² + ( EB . DE + DB . DE ) - 2 . BD . BE 

                 = 2. OB² + DE . ( EB + DB ) - 2 . BD . BE  

                 = 2. OB² + DE² - 2 . BD . BE  

\(\implies\) 2. OB² - 2 . BD . BE = 0 

\(\implies\) 2. OB² = 2 . BD . BE

\(\implies\) OB² = BD . BE 

Mà BE = AC ( cmt ) ; OB = AB / 2 ( gt ) 

\(\implies\) AC . BD = ( AB / 2 )² 

\(\implies\) AC . BD = AB² / 4 

Đây la gi

a)Gọi I là trung điểm của CD

Xét hình thang ACDB (AC//BD) có:\(\hept{\begin{cases}CI=ID\\AO=BO\end{cases}}\)

=>OI là đường tung bình của hình thang ACDB

=>\(OI=\frac{AC+BD}{2}=\frac{CD}{2}=CI=DI\)

=>Tam giác COD vuông tại O 

=> đpcm

b)Kẻ OE vuông góc với CD,giao cuae CO và BD là F

Ta có tam giác ACO=Tam giác BFO( cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

=>OC=OF

Xét tam giác CDF có:

CO=OF (cmt)

DO vuông góc với CF

=>tam giác CDF cân tại D 

=>DO là phân giác góc CDF

=>góc EDO=BDO

=>tam giác EOD=tam giác BOD(Cạnh huyền - góc nhọn)

=>OE=OB

=>EO là bán kính (O) mà OE vuông góc với BC(cách vẽ)

=>CD là tiếp tuyến đường tròn đường kính AB

a, Xét tam giác DOB và tam giác IOA ta có : 

^DOB = ^IOA ( đối đỉnh ) 

^AIO = ^ODB ( DB // CA do cùng vuông AB và 2 góc này ở vị trí so le trong ) 

^OAI = ^OBD = 90⁰ 

Vậy tam giác DOB = tam giác IOA ( ch - gn ) 

=> OD = OI ( 2 góc tương ứng ) 

b, Xét tam giác ICD có CO vuông ID hay CO là đường cao 

Lại có IO = OD ( cmt ) => CO là đường trung tuyến 

=> tam giác ICD cân tại C => CI = CD (2) 

Mặt khác : tam giác DOB = tam giác IOA ( cmt ) => BD = IA (1) 

=> CI = AC + IA lại có (1) ; (2) => CD = AC + BD 

c, Dựng OH vuông CD 

Xét tam giác DHO và tam giác HBO ta có : 

^DHO = ^HBO = 90⁰ 

^HDO = ^ODB ( cùng ''='' ^CID ) 

OD _ chung 

Vậy tam giác DHO = tam giác HBO ( g.c.g ) 

=> OH = OB = R 

Vậy CD là tiếp tuyến đường tròn (O)