Câu hỏi của Chi Chi - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Câu hỏi của Chi Chi - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

A = (2a + 2b +2c - 3c)^2 + (2b + 2c +2a - 3a)^2 + (2c + 2a +2b -3b)^2

Đặt a + b + c = x thì 

A = (2x - 3c)^2 + (2x - 3a)^2 + (2x - 3b)^2

    =4x^2 - 12cx + 9c^2 + 4x^2 - 12ax + 9x^2 + 4x^2 - 12bx + 9b^2

    =12x^2 - 12x(a + b + c) + 9(a^2 + b^2 + c^2)

    =12x^2 - 12x^2 + 9(a^2 + b^2 + c^2) =9(a^2 + b^2 + c^2) =9m

\(A=\left(2a+2b-c\right)^2+\left(2b+2c-a\right)^2+\left(2c+2a-b\right)^2\)

\(=\left(4a^2+4b^2+c^2+8ab-4ac+4bc\right)+\left(4b^2+4c^2+a^2+8bc-4ba-4ac\right)\)\(+\left(4c^2+4a^2+b^2+8ac-4cb-4ab\right)\)

\(=9a^2+9b^2+9c^2\)

\(=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=9m\)

phân tích nó cho trong có a2+b2+c2 thay vào rsut gọn

=(x+y)^2-4(x+y)+1=3^2-4.3+1=9-12+1=-2

a) Ta có : \(A=x^2+2xy+y^2-4x-4y+1\)

\(=\left(x+y\right)^2-4\left(x+y\right)+1\)

Đến đây tự làm nha , mik chỉ hưỡng dẫn hướng làm thôi chứ ko giải ra hết cho bạn chép đâu nha, đến đây tự thế vào là ra . Tự túc là hạnh phúc  :)

Hok tốt . Nhìn câu b mik nản quá nên thôi :)

2. Câu hỏi của Chi Chi - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Ta có:

\(\left(2a^2-b^2-c^2\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow4a^4+b^4+c^4-4a^2b^2-4a^2c^2+2b^2c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge6a^2b^2+6a^2c^2-3a^4\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}a}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\ge\sqrt{3}\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}\ge\sqrt{3}.\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\) ; \(\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\sqrt{3}.\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Cộng vế: \(P\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}\)

\(P_{min}=\sqrt{3}\) khi \(a=b=c\)

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)

Tương tự:

\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\) ; \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)

Cộng vế với vế:

\(P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^3=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{9}\)