Giả sử có các số nguyên x,y,z thỏa mãn các đẳng thức đã cho. 

Xét x³+xyz=x(x²+yz)=579 --> x là số lẻ.Tương tự xét

y³+xyz=795; z³+xyz=975 ta được y,z là số lẻ

Vậy x³ là 1 số lẻ; xyz là 1 số lẻ, do đó x³+xyz là 1 số chẵn trái với đề bài cho x³+xyz=579 là số lẻ 

Vậy không tồn tại các số nguyên x,y,z thỏa mãn các đẳng thức đã cho.

Bài 1:

Giả sử có các số nguyên thỏa mãn các đẳng thức đã cho

Xét x³+xyz=x(x²+yz)=579 -->x lẻ.

Tương tự xét

y³+xyz=795; z³+xyz=975 ta đc: y,z là số lẻ

Vậy x³ là 1 số lẻ; xyz là 1 số lẻ, do đó x³+xyz là một số chẵn trái với đề bài

Vậy không tồn tại các số nguyên x,y,z thỏa mãn đẳng thức đã cho

Bài 2:

Ta có: VP=1984

Vì 2^x-2^y=1984>0 =>x>y

=>VT=2^x-2^y=2^y(2^x-y-1)

pt trở thành:

2^y(2^x-y-1)=2⁶*31 

\(\Rightarrow\begin{cases}2^y=2^6\left(1\right)\\2^{x-y}-1=31\left(2\right)\end{cases}\)

Từ pt (1) =>y=6

Thay y=6 vào pt (2) đc:

2^x-6-1=31 => 2^x-6=32

=>2^x-6=2⁵

=>x-6=5 <=>x=11

Vậy x=11 và y=6

Ta có : x³ + xyz = x(x²+yz)=957 là số lẻ => x là số lẻ

Tương tự: y, z cũng là số lẻ

Do đó : x³ là số lẻ, xyz là số lẻ ( vì x,y,z là số lẻ)

Nên : x³ + xyz là số chẵn ( trái với đề bài)

Vậy: ko có các số nguyên x,y,z nào đồng thời thỏa mãn 3 đẳng thức trên

giả sử có các số nguyên x,y,z thỏa mãn các đẳng thức đã cho 

xét x^3 + xyz= 975 ta có

x^3 + xyz= x(x^2+yz)=975 => x là số lẻ

tương tự xết y^3 + xyz và z^3 + xyz ta cũng đc y,z là số lẻ

x là số lẻ => x^3 là số lẻ 

=> x^3+xyz là số chẵn 

trái với đề bài nên ko tồn tại số nguyên x,y,z thỏa mãn đẳng thức đã cho

TH1:

Nếu x,y,z <0

thì (1),(2),(3) <0

TH2:

Nếu x,y,z >0

Thì(1),(2),(3)>0

TH3:

Nếu x,y,z =0

Thì (1),(2),(3)=0

Ta có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\dfrac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\dfrac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{x+y+z}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)=\dfrac{1}{x+y+z}.\left(\dfrac{x+y+z}{xyz}\right)=\dfrac{1}{xyz}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)