Chứng minh các đẳng thức sau:
a) \(\left(a+b\right)-\left(-a+b-c\right)+\left(c-a-b\right)=a-b+2c\)+ 2c
b) \(a\left(b-c\right)-a\left(b+d\right)=-a\left(c+d\right)\)
Chứng minh đẳng thức:
a) \(\left(a+b\right)\left(c+d\right)-\left(a+d\right)\left(b+c\right)=\left(a-c\right)\left(d-b\right)\)
b) \(\left(a-c\right)\left(b+d\right)-\left(a-d\right)\left(b+c\right)=\left(a+b\right)\left(d-c\right)\)
a) Vế trái = a.(c + d) + b.( c+ d) - a.(b + c) - d.(b + c)
= a.[(c+ d) - (b + c)] + [b(c+d) - d.(b + c)]
= a.(d - b) + (bc + bd - db - dc) = a.(d - b) + c.(b - d) = a.(d - b) - c.(d - b) = (a - c).(d - b) = Vế phải
Vậy....
b) làm tương tự:
a) (a+b) (c+d) - (a+d) (b+c) = (ac + ad + bc + bd) - (ab + ac +bd + cd) = ac + ad + bc + bd - ab -ac - bd - cd
và bằng ad + bc - ab - cd = a( d-b ) + c( b-d ) = a (d-b) - c (d-b) = (a-c)(d-b) (dpcm)
p/s: ý B chứng minh tương tự.
Chứng tỏ rằng tử đẳng thức \(\left(a-2c\right)\left(b+2d\right)=\left(b-2d\right)\left(a+2c\right)\) ta suy ra tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\left(a,b,c,d\ne0\right)\)
\(\left(a-2c\right)\left(b+2d\right)=\left(b-2d\right)\left(a+2c\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+2ad-2bc-4cd=ab+2bc-2ad-4cd\)
\(\Leftrightarrow2ad+2ad=2bc+2bc\Leftrightarrow4ab=4bc\)
\(\Leftrightarrow ad=bc\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d},\left(a,b,c,d\ne0\right)\)
Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức:
a) \(\left(a+b+c+d\right)-\left(a-b-c+d\right)+1=a-\left(a-2b-2c-d\right)+\left(d+1\right)\)
b)\(\left(4x-3y+2\right)-\left(3x-4y+2\right)=\left(2x+2y\right)-\left(x+y\right)\)
b) Ta có :
\(VT=\left(4x-3y+2\right)-\left(3x-4y+2\right)\)
\(=4x-3y+2-3x+4y-2\)
\(=\left(4x-3x\right)-\left(3y-4y\right)+\left(2-2\right)\)
\(=x+y\)
\(VP=\left(2x+2y\right)-\left(x+y\right)=2x+2y-x-y\)
\(=\left(2x-x\right)+\left(2y-y\right)\)
\(=x+y\)
\(\Rightarrow VT=VP\)
\(\Rightarrow\)đpcm
Chứng minh đẳng thức
\(\left(a-c\right)\left(b+d\right)-\left(a-d\right)\left(b+c\right)=\left(a+b\right)\left(d-c\right)\)
Có: Vế trái : (a - c)(b + d) - (a - d)(b + c)
= ab + ad - bc - cd - ab - ac + bd + cd
= ad - bc - ac + bd
= ad - ac + bd + bc
= a(d - c) + b(d - c)
= (a + b)(d - c) (= vế phải)
Vậy đpcm
BĐVT có,
=ab+ad-bc-cd-ab-ac+bd+cd
=ad-ac-bc+bd
=a(d-c)+b(d-c)
=(a+b)(d-c)=vế phải
suy ra đpcm
tik nha
\(\left(a-c\right)\left(b+d\right)-\left(a-d\right)\left(b+c\right)=ab+ad-cb-cd-\left(ab+ac-bd-cd\right)\)
\(=ab+ad-cb-cd-ab-ac+bd+cd=ad-cb-ac+bd=\left(ad-ac\right)+\left(bd-bc\right)\)
\(=a\left(d-c\right)+b\left(d-c\right)=\left(a+b\right)\left(d-c\right)\)
chứng minh các đẳng thức sau
a)\(\left(a+b+c\right)^2+\left(b+c-a\right)^2\left(c+a-b\right)^2\left(a+b+c\right)^2=4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
b) \(\left(a+b+c+d\right)^2+\left(a+b-c-d\right)^2+\left(a+c-b-d\right)^2+\left(a+d-b-c\right)^2=4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)
Cho a+b+c=0
a) Chứng minh rằng: \(a^3+a^2c-abc+b^2c+b^3=0\)
b) Áp dụng phân tích thành nhân tử đa thức: \(A=bc\left(a+d\right)\left(b-c\right)-ac\left(b+d\right)\left(a-c\right)+ab\left(c+d\right)\left(a-b\right)\)
chứng minh bất đẳng thức: \(a\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b+c\right)+b^2c^2\ge0\)
Lời giải:
BĐT tương đương với \((a^2+ab+ac)(a^2+ac+ab+bc)+b^2c^2\geq 0\)
Đặt \(a^2+ab+ac=t\)
BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow t(t+bc)+b^2c^2=(t-\frac{bc}{2})^2+\frac{3b^2c^2}{4}\geq 0\)
Luôn đúng vì bình phương của một số thực luôn là số không âm
Dấu bằng xảy ra khi \(2(a^2+ab+ac)=bc\) và \(bc=0\)
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. \(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{c+d}+\frac{a+b}{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\ge\frac{12}{a+b+c+d}\)
2. \(\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{-a+b+c}+\frac{\left(c+a\right)^2}{a-b+c}\ge4.\left(a+b+c\right)\)
Chứng minh đẳng thức:
1, \(\dfrac{a\left(x-b\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{b\left(x-a\right)\left(x-c\right)}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{c\left(x-a\right)\left(x-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=x\)