Tam giác ABC có góc A = 70 độ, đường cao AH, D và E đối xứng với H qua AB, AC. DE cắt AB, AC tại M,N.
a) Chứng minh: tam giác DAE cân. Tính góc DAE.
b) Chứng minh: AH là phân giác góc MHN.
c) Chứng minh 3 đường BN, CM, AH đồng quy.
Cho tam giác ABC có góc A = 70. Đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng với của H qua AB và AC. Đường thẳng DE cắt AB, AC lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh tam giác ADE cân
b) Tính góc ADE
c) Chứng minh AH là phân giác góc MHN
d) Chứng minh 3 đường thẳng BN, CM, AH đồng quy
Bài 1*: Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AH. Gọi D,E theo thứ tự là các điểm đối xứng của điểm H qua các cạnh AB, AC. Đường thẳng DE cắt AB,AC lần lượt tại M,N. Chứng minh:
1. Tam giác DAE là tam giác cân.
2. HA là phân giác của góc MHN.
3. Ba đường thẳng BN,CM và AH đồng quy.
4. BN,CM là các đường cao của tam giác ABC.
1: Ta có: H và D đối xứng nhau qua AB
nên AB là đường trung trực của HD
Suy ra: \(AH=AD\left(1\right)\)
Ta có: H và E đối xứng nhau qua AC
nên AC là đường trung trực của HE
Suy ra: \(AH=AE\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra AD=AE
Xét ΔADE có AD=AE
nên ΔADE cân tại A
Cho tam giac ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm. Kẻ đường cao AH sao cho AH vuông góc với BC (H thuộc BC) a. Tính độ dài BC b. Tia phân giác góc HAC cắt cạnh BC tại D. Qua D kẻ DK vuông góc AC (K thuộc AC). Chứng minh tam giác AHD = AKD c. Chứng minh tam giác BAD cân d. Tia phân giác góc BAH cắt canh BC tại E. Chứng minh: AB + AC = BC + DE
câu d ai giúp vớiCho tam giác ABC nhọn. M là điểm bất kì trên cạnh BC. D đối xứng với M qua AB, E đối xứng với M qua AC. DE cắt AB và AC lần lượt tại I và K.
a) Chứng minh tam giác ADE cân
b) Chứng minh MA là tia phân giác của góc IMK
c) Biết góc BAC bằng 70 độ .Tính các góc của tam giác ADE
a. Ta có \(M,D\) đối xứng qua \(AB\)
\(\rightarrow AD=AM\)
Lại có \(M,E\) đối xứng qua \(AC\rightarrow AM=AE\)
\(\rightarrow AD=AE\rightarrow\Delta ADE\) CÂN
b. Ta có \(M,D\) đối xứng qua \(AB,I\in AB\)
\(\rightarrow\widehat{IMA}=\widehat{IDA}=\widehat{ADE}\)
Tương tự \(\widehat{KMA}=\widehat{KEA}=\widehat{DEA}\)
Mà \(\Delta ADE\) cân tại \(A\)
\(\rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}\)
\(\rightarrow\widehat{IMA}=\widehat{KMA}\)
\(\rightarrow MA\) là phân giác \(\widehat{IMK}\)c. Ta có \(M,D\) đối xứng qua \(AB\)\(\rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{BAM}\rightarrow\widehat{DAM}=2\widehat{BAM}\)Tương tự \(\widehat{MAE}=2\widehat{MAC}\)\(\rightarrow\widehat{DAE}=\widehat{DAM}+\widehat{MAE}\)\(\rightarrow\widehat{DAE}=2\widehat{BAM}+2\widehat{MAC}=2\widehat{BAC}=140^o\)\(\rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}=90^o-\frac{1}{2}\widehat{DAE}=20^o\)Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm , AC = 12cm . Kẻ đường cao AH ( H thuộc BC)
a) Tính độ dài cạnh BC
b) Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC qua D. Qua D kẻ DK vuông góc với AC ( K thuộc AC ). Chứng minh rằng tam giác AHD = tam giác AKD
c) Chứng minh tam giác BAD cân
d) Tia phân giác của góc BAH cắt BC tại E. Chứng minh AB+AC = BC + DE
a) Xét \(\Delta ABC\)có AB = 5cm; AC = 12cm. Theo định lý Py-ta-go ta có:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(BC^2=5^2+12^2\)
\(BC^2=25+144\)
\(BC^2=169\)
\(BC=13\)
Vậy cạnh BC = 13cm
b)Xét tam giác AHD và tam giác AKD ta có:
\(\widehat{AHD}=\widehat{AKD}=90^o\)
AD chung
\(\widehat{DAH}=\widehat{DAK}\)(AD là tia phân giác)
=> tam giác AHD = tam giác AKD (g.c.g)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH Từ H kẻ HM vuông góc AB HK vuông góc AC (M trên AB,K trên AC
a) chứng minh AH=MK
b)Gọi D và E lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AB và A Chứng minh D đối xứng với E qua A
c) chứng minh BD// CE
a: Xét tứ giác AMHK có
góc AMH=góc AKH=góc KAM=90 độ
=>AMHK là hình chữ nhật
=>AH=MK
b: Xét ΔAHD có
AB vừa là đường cao, vừa là trung tuyến
nên ΔAHD cân tại A
=>AH=AD và AB là phân giác của góc HAD(1)
Xét ΔHEA có
AC vừa là đường cao, vừa là trung tuyến
nên ΔAHE cân tại A
=>AH=AE và AC là phân giác của góc HAE(2)
Từ (1), (2) suy ra góc DAE=2*90=180 độ
=>D,A,E thẳng hàng
mà AD=AE
nên A là trung điểm của DE
c: Xét ΔAHB và ΔADB có
AH=AD
góc HAB=góc DAB
AB chung
=>ΔAHB=ΔADB
=>góc ADB=90 dộ
=>BD vuông góc DE(3)
Xét ΔAHC và ΔAEC có
AH=AE
góc HAC=góc EAC
AC chung
=>ΔAHC=ΔAEC
=>goc AEC=90 độ
=>CE vuông góc ED(4)
Từ (3), (4) suy ra BD//CE
Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao , góc ABC =60° . GỌI M LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA AB , N LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA AC . Lấy D đối xứng với H qua M và E đối xứng với H qua N. a, Chứng minh AH^2=AD. AE b, tia phân giác của góc ABC cắt AC tại K. Cm: sin góc ABC= 2sin góc ABK × cos CBK
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Lấy D đối xứng với H qua AB,
E đối xứng với H qua AC, DH cắt AB tại M, HE cắt AC tại N.
a) Tứ giác AMHN là hình gì? Chứng minh?
b) Chứng minh: Tứ giác ADMN, AMNE là hình bình hành
c) Chứng minh rằng: 3 điểm D, A, E thẳng hàng.
d) Chứng minh rằng: DE = MN +AH
a: Ta có: H và D đối xứng nhau qua BA
nên AB là đường trung trực của HD
Suy ra: AB\(\perp\)HD và M là trung điểm của HD
Ta có: H và E đối xứng nhau qua AC
nên AC là đường trung trực của HE
Suy ra: AC\(\perp\)HE và N là trung điểm của HE
Xét tứ giác AMHN có
\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)
Do đó: AMHN là hình chữ nhật
Cho tam giác ABC có góc A<90 độ, AH là đường cao của tam giác ABC. Lấy E,F đối xứng với H lần lượt qua AB,AC.Đoạn thẳng EF cắt AB, AC tại M,N.
a, Chứng minh:AE=AF
b,Chứng minh: HA là phân giác của góc MHN
c, Chứng minh: AH,BN,CM đồng quy tại 1 điểm
Bài làm
a) Vì E,F lần lượt đối xứng với H qua AB,AC. Nên AB lần lượt là trung điểm của của EH và HF
=> AE = AH , AH = AF
=> AE = AF
c) Vì AE = AF => Tam giác ABC cân tại A => \(\widehat{AEF}=\widehat{AFE}\) ( 1 )
Xét tam giác AME và tam giác AMH có:
AM chung
AE = AH ( cmt )
ME = MH ( AB là đường trung trực của EH )
=> tam giác AME = tam giác AMH ( c.c.c )
=> \(\widehat{AEM}=\widehat{AHM}\) ( 2 )
Xét tam giác ANH và tam giác ANF có:
AN chung
AH = AF ( cmt )
NH = NF ( AC là trung trực của HF )
=> tam giác ANH = tam giác ANF ( c.c.c )
=> \(\widehat{AHN}=\widehat{AFN}\) ( 3 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) => \(\widehat{MHA}=\widehat{NHA}\)
=> HA là phân giác của \(\widehat{MHN}\)
c) Vì NH = NF nên tam giác NHF cân tại N
=> NC là phân giác của \(\widehat{HNF}\)
Xét tam giác EMH có:
EM = MH
=> Tam giác EMH cân tại M
=> MB là phân giác của \(\widehat{EMH}\)
Xét tam giác MNH có:
HA là phân giác của \(\widehat{MHN}\)
Mà BH | AH
=> BH là tia phân giác ngoài của tam giác MNH tại H
NC là tia phân giác ngoài của tam giác MNH tại H
Xét tam giác MNH có MC và HC là hai tia phân giác ngoài của tam giác MNH
=> MC là tia phân giác của góc trong tam giác MNH
=> \(\widehat{BMC}=\frac{\widehat{EMH}+\widehat{HMN}}{2}=90^0\)
Ta có \(\widehat{BMH}+\widehat{HMC}=90^0;\widehat{BMH}+\widehat{MHE}=90^0\)
=> \(\widehat{HMC}=\widehat{EMH}\)
=> CM // EH
Chứng minh tương tự BN // HF
Do đó: AH, BN, CM đồng quy tại một điểm.
# Học tốt #
Bài làm
a) Vì E,F lần lượt đối xứng với H qua AB,AC. Nên AB lần lượt là trung điểm của của EH và HF
=> AE = AH , AH = AF
=> AE = AF
c) Vì AE = AF => Tam giác ABC cân tại A => \(\widehat{AEF}=\widehat{AFE}\) ( 1 )
Xét tam giác AME và tam giác AMH có:
AM chung
AE = AH ( cmt )
ME = MH ( AB là đường trung trực của EH )
=> tam giác AME = tam giác AMH ( c.c.c )
=> \(\widehat{AEM}=\widehat{AHM}\) ( 2 )
Xét tam giác ANH và tam giác ANF có:
AN chung
AH = AF ( cmt )
NH = NF ( AC là trung trực của HF )
=> tam giác ANH = tam giác ANF ( c.c.c )
=> \(\widehat{AHN}=\widehat{AFN}\) ( 3 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) => \(\widehat{MHA}=\widehat{NHA}\)
=> HA là phân giác của \(\widehat{MHN}\)
c) Vì NH = NF nên tam giác NHF cân tại N
=> NC là phân giác của \(\widehat{HNF}\)
Xét tam giác EMH có:
EM = MH
=> Tam giác EMH cân tại M
=> MB là phân giác của \(\widehat{EMH}\)
Xét tam giác MNH có:
HA là phân giác của \(\widehat{MHN}\)
Mà BH | AH
=> BH là tia phân giác ngoài của tam giác MNH tại H
NC là tia phân giác ngoài của tam giác MNH tại H
Xét tam giác MNH có MC và HC là hai tia phân giác ngoài của tam giác MNH
=> MC là tia phân giác của góc trong tam giác MNH
=> \(\widehat{BMC}=\frac{\widehat{EMH}+\widehat{HMN}}{2}=90^0\)
Ta có \(\widehat{BMH}+\widehat{HMC}=90^0;\widehat{BMH}+\widehat{MHE}=90^0\)
=> \(\widehat{HMC}=\widehat{EMH}\)
=> CM // EH
Chứng minh tương tự BN // HF
Do đó: AH, BN, CM đồng quy tại một điểm.
# Học tốt #