Kẻ AG⊥CD, BH⊥CD, IK⊥CD

Chứng minh được \(\Delta BHC=\Delta AGD\left(ch-gn\right)\)

Ta có ABHG là hình chữ nhật

Ta có CH+HG+GD=CD

Mà CH=DG \(\left(\Delta BHC=\Delta AGD\right)\)

\(\Rightarrow\)2HC+HG=CD

Mà HG=AB (ABHG là hình chữ nhật)

\(\Rightarrow\)2HC+AB=CD

\(\Rightarrow\)HC=\(\dfrac{CD-AB}{2}=3\left(cm\right)\)

Theo định lí Pytago: \(BH=\sqrt{BC^2-HC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)\)

Ta có IK//BH (cùng  ⊥DC), DI=IB

\(\Rightarrow\)IK là đường trung bình \(\Delta DBH\)

\(\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}BH=\dfrac{1}{2}\cdot4=2\left(cm\right)\)

từ B kẻ B F vuông góc vs CD( F thuộc CD) và từ A kẻ A G  vuông góc vs CD(G thuộc Cd)

xét tg ADG và tg BCF có:  AGD =BFC=90(cách vẽ), AD=BC,   ADG=BCF (do tg ABCD là hthang cân)

   => tg ADG=tg BCF(ch-gn)=>DG=FC

xét tg ABFG có: AB//GF(vì AB//CD, G và F thuộc CD) và AG//BH (cùng // DC)=>tg ABFG là hbh=.AB=GF=4cm

ta có: DC=DG+GF+FC

    <=>10=2.FC+4

<=>FC=3cm hay DG=3cm(vì DG=FC)

xet tg BCF vuông tại F(cách vẽ)  có: BF^2 +FC^2 = BC^2( đl py-ta-go)

                                                       <=>BF^2=BC^2-FC^2=5^2 -3^2=16<=>BF=4(vì BF>0)

xét tg CHE có: BF//EH(cùng vuông góc vs CD)=>DF/DH=DB/DE(đl ta-lét)

                                                                           <=>(DG+GF)/(DC+CH)=DB/(DB+BE)

                                                                           <=>(3+4)/(10+HC)=DB/2DB   (vì DB=BE)

                                                                          <=>7/(10+HC)=1/2 =>10+HC=7.2=14=>HC=14-10=4cm

vậy độ dài cạnh HC là 4 cm

Hình tự vẽ nha!

Kẻ \(AH,BK\perp CD\left(H,K\in CD\right)\)

Vì AB // CD

=> AH = BK ( liên hệ giữa song song và khoảng cách )

Xét \(\Delta ADH\)và \(\Delta BCK\) có:

\(AD=BC\) (cạnh bên hình thang cân)

\(\widehat{AHD}=\widehat{BKC}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{ADH}=\widehat{BCK}\)( góc đáy hình thang cân )

\(\Rightarrow\Delta ADH=\Delta BCK\)( Cạnh huyền - góc nhọn )

\(\Rightarrow DH=KC\)

Vì AB // HK ( HK \(\equiv\)CD )

    AH // BK ( cùng \(\perp\)CD )

=> ABHK là hình bình hành

=> AB =HK = 10

Ta có : DH + HK  + KC =DC

      => 2 DH + 10 = 16

     => 2DH = 6

    => DH = 3

Áp dụng định lí Py-Ta -GO vào tam giác ADH vuông tại H :

   \(AH^2+HD^2=AD^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2+9=25\)

\(\Leftrightarrow AH^2=16\)

\(\Leftrightarrow AH=4\)    ( vì AH > 0 ) 

 Vậy k/c từ A đến CD là 4cm

Xét tam giác ABD có:

AB//IE (gt)

=>\(\dfrac{IE}{AB}=\dfrac{DI}{BD}\)(định lí Ta-let). (1)

Xét tam giác ABI có:

AB//DC (gt)

=>\(\dfrac{DI}{BD}=\dfrac{CI}{AC}\)(định lí Ta-let) (2)

Xét tam giác ABC có:

IF//AB (gt)

=>\(\dfrac{IF}{AB}=\dfrac{CI}{AC}\)(định lí Ta-let) (3)

- Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{EI}{AB}=\dfrac{IF}{AB}\)=>EI=IF

Ta có: \(\dfrac{IE}{AB}=\dfrac{DI}{BD}\)(cmt) =>\(\dfrac{AB}{IE}=\dfrac{BD}{DI}\)=>\(\dfrac{AB}{IE}-1=\dfrac{BI}{DI}\)(4)

Xét tam giác ABI có:

AB//DC (gt)

=>\(\dfrac{BI}{DI}=\dfrac{AB}{DC}\)(định lí Ta-let) (5)

- Từ (4) và (5) suy ra: \(\dfrac{AB}{IE}-1=\dfrac{AB}{DC}\)

=>\(\dfrac{AB}{IE}=\dfrac{DC+AB}{DC}\)

=>IE=IF=\(\dfrac{AB.DC}{AB+DC}=\dfrac{4.5}{9}=\dfrac{20}{9}\left(cm\right)\)