đề lại thiếu rồi bạn ơi Cm cái j

lớn hơn hoặc bằng ba căn ba nhé bạn. sorry nha, minh quên mất

nhỏ hơn hoặc bằng 1( đề chính xác đấy nhé)

Đặt \(a=\frac{x+y}{2};b=\frac{y+z}{2};c=\frac{z+x}{2}\)

Thì \(\Rightarrow a+b+c=\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=\frac{x+y+y+z+z+x}{2}=\)\(x+y+z=1\)

Bất đẳng thức đã tương đương với \(x+2y+z\ge4\left(x+y\right).\left(y+z\right).\left(z+x\right)\)

\(\Rightarrow a+b\ge16abc\)

Ta có: \(\left(a+b\right).\left(a+b+c\right)^2\ge4\left(a+b\right).4c\left(a+b\right)\ge16abc\left(đpcm\right).\)

cảm ơn bn

Ta có:

\(x\ge0,y\ge0,z\ge0\) và \(x+y+z=1\)

\(\Rightarrow0\le y\le1\)

Ta lại có:

\(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)

Aps dụng BĐT: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

Ta được: \(4\left(y+z\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)^2\)

Nên: \(4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)^2\left(1-y\right)\)

\(\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)\left(1-y\right)^2\)

Mà \(\left(1-y\right)^2\le1\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le1+y\)

\(\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le x+y+z+y\)

\(\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le x+2y+z\left(đpcm\right)\)

từ đề bài ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: 

\(3+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{9}{4}\)

<=>\(\dfrac{3}{4}+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

ta có \(\dfrac{3}{4}+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}\le\dfrac{3}{4}+\dfrac{z+y}{4x}+\dfrac{x+z}{4y}+\dfrac{x+y}{4z}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\left(đpcm\right)\)Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=\(\dfrac{1}{3}\)

Vì x+y+z=0 nên có ít nhất 2 số cùng dấu. Giả sử đó là x và y thì xy>0.

Ta cần chứng minh \(x^2+y^4+z^6\le2\) ( fix đề )

\(x^2+y^4+z^6\le x^2+y^2+z^2=\left(x+y\right)^2-2xy+z^2=2z^2-2xy\)

mà \(xy>0\Rightarrow2z^2-2xy\le2z^2\le2\)

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}z^2=1\\xy=0\end{cases}}\)( + các hoán vị) hay (x,y,z) ~(0;1;-1) và các hoán vị 

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) 

\(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) 

Tương tự rồi cộng từng vế, ta có: 

\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{4}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\) 

=> ĐPCM