Cho \(a,b,c\ge0\) và a + b + c = 1. Chứng minh :
a) \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}< 3,5\)
b) \(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\le\sqrt{6}\)
Cho a, b, c > 1 và \(\sqrt{a-1}\) + \(\sqrt{b-1}\) + \(\sqrt{c-1}\) \(\le\)\(\dfrac{3}{2}\)
Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{15}{2}\)
Ta có \(\sqrt{a-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}\) \(=\sqrt{a-1}+\dfrac{1}{4\sqrt{a-1}}+\dfrac{3}{4\sqrt{a-1}}\) \(\ge2\sqrt{\sqrt{a-1}.\dfrac{1}{4\sqrt{a-1}}}+\dfrac{3}{4\sqrt{a-1}}\) \(=1+\dfrac{3}{4\sqrt{a-1}}\).
Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng vế theo vế, ta có
\(VT\ge3+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\right)\)
\(\ge3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}}\)
\(\ge3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}\) \(=\dfrac{15}{2}\).
ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{5}{4}\). Ta có đpcm
Có \(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{15}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{15}{2}-\left(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\right)\ge6\) (1)
Ta chứng minh (1) đúng
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz :
\(\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}=6\)Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a-1}=\sqrt{b-1}=\sqrt{c-1}\\\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{5}{4}\)(tm)
Cho \(a,b,c\ge0\)Chứng minh \(3\le\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{b}+1}+\frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{c}+1}+\frac{\sqrt{c}+1}{\sqrt{a}+1}\le a+b+c+3\)
Cho \(a,b,c\text{ }\ge0\) thỏa \(a+b+c=3\).Chứng minh:
\(3\le a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\le5\)
Ta có:
\(b\ge0\Rightarrow b^3+1\ge1\Rightarrow a\sqrt{b^3+1}\ge a\)
Hoàn toàn tương tự: \(b\sqrt{c^3+1}\ge b\) ;\(c\sqrt{a^3+1}\ge c\)
Cộng vế:
\(P\ge a+b+c=3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị
Lại có:
\(a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\dfrac{a\left(b^2+2\right)}{2}\)
Tương tự: \(b\sqrt{c^3+1}\le\dfrac{b\left(c^2+2\right)}{2}\) ; \(c\sqrt{a^3+1}\le\dfrac{c\left(a^2+2\right)}{2}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+a+b+c=\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2+2abc\right)+3\)
Nên ta chỉ cần chứng minh: \(Q=ab^2+bc^2+ca^2+2abc\le4\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=mid\left\{a;b;c\right\}\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\le0\Leftrightarrow a^2+bc\le ab+ac\)
\(\Rightarrow ca^2+bc^2\le abc+ac^2\)
\(\Rightarrow Q\le ab^2+ac^2+2abc=a\left(b+c\right)^2=\dfrac{1}{2}.2a\left(b+c\right)\left(b+c\right)\le\dfrac{1}{54}\left(2a+2b+2c\right)^3=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right)\) và 1 số hoán vị của chúng
Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
\(\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\le a+b+c+3\)
Cho a+b+c=1, a, b, c\(\ge0\). Chứng minh
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\left(a,b,c>0\right)\)
\(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le3,5\)
\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{6}\)
*) ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)
Nhân vế với vế của các BĐT trên,ta được: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8abc\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cho a,b,c không âm thỏa mãn : a+b+c =1
CMR : a)\(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}< 3,5\)
b)\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{6}\)
a) Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số không âm ta có: \(\sqrt{a+1}=\sqrt{1.\left(a+1\right)}\le\frac{1+a+1}{2}=\frac{a}{2}+1\)
Tương tự: \(\sqrt{b+1}\le\frac{b}{2}+1\)
\(\sqrt{c+1}\le\frac{c}{2}+1\)
Cộng vế với vế ta được: \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le\frac{a+b+c}{2}+3=3,5\)
Dấu "='' xảy ra khi a + 1 = b + 1 = c + 1 = 1
<=> a = b = c = 0, mâu thuẫn với đề: a + b + c = 1
Do đó \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}< 3,5\left(đpcm\right)\)
b) Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz cho bộ 3 số dương ta có:
\(\left(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\)\(\left[\left(\sqrt{a+b}\right)^2+\left(\sqrt{b+c}\right)^2+\left(\sqrt{c+a}\right)^2\right]\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le3.2.\left(a+b+c\right)=6.1=6\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{6}\left(đpcm\right)\)
a)Cho a,b,c \(\ge\)0, a+b+c\(\le\)1.Chứng minh rằng:\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{6}\)
b)Cho a,b,c \(\ge\)0, a+b+c\(\le\)6.Chứng minh rằng: \(\sqrt{a+\sqrt{b+\sqrt{2c}}}+\sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{c+\sqrt{a+\sqrt{2b}}}\le6\)
a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)
\(\le2\cdot\left(1+1+1\right)\left(a+b+c\right)\le6\)
\(\Rightarrow VT^2\le6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{a+\sqrt{b+\sqrt{2c}}}+\sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{c+\sqrt{a+\sqrt{2b}}}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+Σ\sqrt{b+\sqrt{2c}}\right)\)
\(=3\left(6+\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)\)
Đặt \(A^2=\left(\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\)
\(=3\left(6+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\)
Đặt tiếp: \(B^2=\left(\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)^2\)
\(\le2\cdot\left(1+1+1\right)\left(a+b+c\right)\le36\Rightarrow B\le6\)
\(\Rightarrow A^2\le3\left(6+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\le3\cdot12=36\Rightarrow A\le6\)
\(\Rightarrow VT^2\le3\left(6+\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)\)
\(\le3\left(6+6\right)=3\cdot12=36\Rightarrow VT\le6=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=2\)
Cho \(a,b,c\ge0;a+b+c=3\). Chứng minh rằng \(3\le a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\le5\).
1. tính giá trị biểu thức: B = \(x^2-2x-\frac{1-x\sqrt{x}+\sqrt{x}-x}{1-\sqrt{x}}.\frac{1+x\sqrt{x}-\sqrt{x}-x}{1+x}\) với x=2017
2. cho 3 số dương a,b,c thỏa \(b\ne c,\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{c}\) và \(a+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\).chứng minh \(\frac{a+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2}{b+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\)
3. cho \(S_k=\left(\sqrt{2}+1\right)^k+\left(\sqrt{2}-1\right)^k\)với \(k\in N\). chứng minh \(S_{2009}.S_{2010}-S_{4019}=2\sqrt{2}\)
4. cho x,y,z và \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)là những số hữu tỉ. chứng minh \(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\)là các số hữu tỉ