ta có: \(\frac{1}{1.2}>0;\frac{1}{2.3}>0;...;\frac{1}{n.\left(n+1\right)}>0\)

\(\Rightarrow S=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n.\left(n+1\right)}>0\)

ta có: \(S=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n.\left(n+1\right)}\)

\(S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

\(S=1-\frac{1}{n+1}< 1\)

=> 0 < S < 1

=> S không phải là số tự nhiên

\(Q=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}\) < 1  (1)

Vì n thuộc N* => n + 1 > 1 =>   \(1-\frac{1}{n+1}>1-1=0\) (2)

Từ (1) và (2) => 0 < Q < 1 

=>Q ko phải số nguyên 

Lời giải:
$3S=1.2(3-0)+2.3.(4-1)+3.4(5-2)+...+n(n+1)[(n+2)-(n-1)]$

$=[1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)]-[0.1.2+1.2.3+2.3.4+...+(n-1)n(n+1)]$

$=n(n+1)(n+2)$
$\Rightarrow 3S+n(n+1)(n^2-2)=n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n^2-2)$
$=n(n+1)(n+2+n^2-2)=n(n+1)(n^2+n)=n(n+1)n(n+1)=[n(n+1)]^2$ là số chính phương.

A=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/n+1

=1-1/n+1

=n/n+1 không là số nguyên