t lắm tắt luôn nhé có nhiều  câu quá 

áp dụng bdt cô si ta có

a)  \(x+y+z+\frac{1}{xyz}\ge4\sqrt[4]{\frac{1.xyz}{xyz}}=4\)

vậy Min của T là 4 dấu = xảy ra khi x=y=z=1

b)  

áp dụng BDT cosi ta có

\(x+y+Z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

\(\frac{3}{xyz}+3xyz\ge2\sqrt{\frac{3.3xyz}{xyz}}=6\)

+ vế với vế ta được

\(T+3xyz\ge3\sqrt[3]{xyz}+6\)

\(T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3xyz\)

có  \(xyz\le\frac{\left(x+y+Z\right)^2}{27}\Rightarrow-xyz\ge-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{27}\) cùng dấu > thay vào được

\(T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}\)

Có \(x^2+1\ge2x\)

       \(y^2+1\ge2y\)

      \(z^2+1\ge2z\)  (cosy)

+ vế với vế ta được

\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

\(3\ge\left(x+y+z\right)\Rightarrow-\left(x+y+z\right)\ge-3\) cùng dấu > ta thay được 

\(\Rightarrow T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3\frac{\left(3\right)^3}{27}\)

\(\Rightarrow T\ge6\) dấu = xảy ra khi x=y=z=1

3) dự đoán của chúa pain x=y=z = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

thử thay vào

\(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}^3}}\)

số xấu lắm m tự làm đi tương tự câu 1) 2) 

1)  dự đoán của chúa Pain x=y=z=1 

áp dụng BDT cô si ta có

\(x+y+z+\frac{1}{xyz}\ge4\sqrt[4]{\frac{xyz}{xyz}}=4.\)

Vậy Min là 4 dấu = xảy ra khi x=y=z=1

2  chia cả tử cả mẫu cho  \(x^2+y^2+z^2=3\) ta được

\(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=\frac{3}{xyz}\)

thay số ta được

\(\left(x+y+z+\frac{x}{yz}+\frac{z}{xy}+\frac{y}{zx}\right)\)

áp dụng Cô si ta được

\(VT\ge6\sqrt[6]{\frac{x^2y^2z^2}{y^2z^2x^2}}=6\)

vậy Min là 6 dấu = xảy ra khi x=y=z=1

3) TƯỢNG TỰ cậu 2

chia xyz cho 2 vế 

\(x^2+y^2+z^2=1\)

ta được

\(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=\frac{1}{xyz}\)

thay số

\(\left(x+y+z\right)+\left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)\)

áp dụng BDT cô si ta được

\(\left(\frac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}+\frac{y}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}+\frac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}\right)+\left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)\ge....\)

tự làm

Ta có : x= 3-y-z

X²+y²+z²  <=> ( 3-y-z) ²+y²+z²

<=> 3²+y²+z² -6y-6z+2yz +z² +y²         

<=>( y² + 2yz +z² )+(z² -6z+3²)+(y²-6y+3²)-9 

<=> ( y+z)² +(z-3)²+(y-3)²-9

<=> ( y+z)² +(z-x-y-z)^2 +(y-x-z-y)^2-9

<=> (y+z)^2 + (-x-y)^2 +( -x-z)^2-9 >= -9

<=> minn = -9 <=> x=y=z =0

Cậu xem thử như vậy có hợp lý không,  mình không chắc lắm

khó quá!!!!!!!!!!!

Xét : 1/x^2+x + x/2 + x+1/4 = 1/x.(x+1) +x/2 + x+1/4 >= 3\(\sqrt[3]{\frac{1}{x.\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}\) = 3/2

=> 1/x^2+x >= 3/2 - x/2 - x+1/4 = 3/2 - (3x+1)/4

Tương tự : 1/y^2+y >= 3/2 - (3y+1)/4 ; 1/z^2+z >= 3/2 - (3z+1)/4

=> M >= 9/2 - (3x+3y+3z+3)/4 = 9/2 - (3.3+3)/4 = 9/2 - 3 = 3/2

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1

Vậy GTNN của M = 3/2 <=> x=y=z=1

Tk mk nha

cảm ơn bạn nhé

Ờ thì AM-GM (là Cô si ko âm đây)

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}\cdot\frac{y+z}{4}}=2\cdot\frac{x}{2}=x\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(P+\frac{2\left(x+y+z\right)}{4}\ge x+y+z\Leftrightarrow P\ge1\)

ĐẲng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :

\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

Vậy \(P_{min}=1\) tại \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

Đinh Đức Hùng ơi, cái cauchy-schwars dưới dạng engel mình chưa học, mới học cái bđt cauchy a+b >= căn ab với a,b ko âm thoy à