TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC:

1)  \(x^2+8\)

Gọi biểu thức trên là A.

Nhận xét;  \(x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow x^2+8\ge8\forall x\)

Vậy  \(minA=8\) khi  \(x^2=0\)\(\Rightarrow x=0\)

KL: Vậy \(minA=8\) khi  \(x=0\)

2)  \(2x^2+4x+15\)

\(\Rightarrow2x^2+4x+1+14\)

\(\Rightarrow\left(2x^2+1\right)^2+14\)

Gọi biểu thức trên là B.

Nhận xét: \(\left(2x^2+1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(2x^2+1\right)^2+14\ge14\forall x\)

Vậy  \(minB=14\) khi \(\left(2x^2+1\right)^2=0\)\(\Rightarrow2x^2+1=0\)\(\Rightarrow2x^2=1\)\(\Rightarrow x=\sqrt{\frac{1}{2}}\)

KL: Vậy  \(minB=14\) khi  \(x=\sqrt{\frac{1}{2}}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bạn AKIWA MAIYA  làm rồi . 

 Chứng minh biểu thức luôn âm với mọi x

a) \(-x^2+2x-7\)

\(=-\left(x^2-2x+7\right)\)

\(=-\left(x^2-2.x.1+1^2+7\right)\)

\(=-\left[\left(x-1\right)^2+7\right]\)

Vì \(-\left[\left(x-1\right)^2+7\right]< 0\)

=> Biểu thức trên nhận giá trị âm với mọi x .

b) Tương tự

1.

a)

\(-x^2+2x-7\left(1\right)\\ \Leftrightarrow-\left(x^2-2x+7\right)\\ \Leftrightarrow-\left[\left(x^2-2x+1\right)+6\right]\\ \Leftrightarrow-\left[\left(x-1\right)^2+6\right]\le-6\forall x\)

=> BT (1) luôn âm với mọi x

b)

\(-5x^2+20x-49\left(2\right)\\ \Leftrightarrow-\left(5x^2-20x+49\right)\\ \Leftrightarrow-\left(x^2-4x+\dfrac{49}{5}\right)\Leftrightarrow-\left[\left(x^2-4x+4\right)+\dfrac{29}{5}\right]\Leftrightarrow-\left[\left(x-2\right)^2+\dfrac{29}{5}\right]\le\dfrac{29}{5}\forall x\)

=> BT (2) luôn âm với mọi x

Bài 1 :

\(-x^2+2x-7\)

\(=\left(-x^2+2x-1\right)-6\)

\(=-\left(x^2-2x+1\right)-6\)

\(=-\left(x-1\right)^2-6\)

Do \(\left(x-1\right)^2\ge0\Rightarrow-\left(x-1\right)^2\le0\Rightarrow-\left(x-1\right)^2-6\le-6< 0\)

Vậy biểu thức luôn âm với mọi giá trị của x .

\(-5x^2+20x-49\)

\(=\left(-5x^2+20x-20\right)-29\)

\(=-5\left(x^2-4x+4\right)-29\)

\(=-5\left(x-2\right)^2-29\)

Do \(\left(x-2\right)^2\ge0\Rightarrow-5\left(x-2\right)^2\le0\Rightarrow-5\left(x-2\right)^2-29\le-29< 0\)

Vậy biểu thức luôn âm với mọi giá trị của x

Bài 2 :

\(x^2+8x=x^2+8x+16-16=\left(x+4\right)^2-16\ge-16\)

\(2x^2+4x+15=2x^2+4x+2+13=2\left(x+1\right)^2+13\ge13\)

Gọi biểu thức là A.

\(A=-5x^2+20x-49\)

\(A=-5x^2+20x-2-47\)

\(A=-\left(5x^2-20x+2\right)-47\)

\(A=-\left(5x-2\right)^2-47\)

Nhận xét:   \(-\left(5x-2\right)^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(5x-2\right)^2-47\le-47\forall x\)

Vậy biểu thức trên luôn âm với mọi x.

Ta có : 9x² + 12x + 15

= (3x)² + 2.3x.2 + 4 + 11

= (3x + 2)² + 11

Mà (3x + 2)² \(\ge0\forall x\)

Nên (3x + 2)² + 11 \(\ge11\forall x\)

Vậy B_min = 11 dấu "=" sảy ra khi và chỉ khi x = \(-\frac{2}{3}\)

Ta có : A = x² - 4x - 6 

= x² - 4x + 4 - 10

= (x - 2)² - 10

Mà (x - 2)² \(\ge0\forall x\)

=> (x - 2)² - 10 \(\ge-10\forall x\)

Vậy A_min = -10 dấu "=" sảy ra khi và chỉ khi x = 2

Bài 1:

a. $M=x^2+4x+9=(x^2+4x+4)+5=(x+2)^2+5\geq 0+5=5$ do $(x+2)^2\geq 0$ với mọi $x$
Vậy $M_{\min}=5$. Giá trị này đạt tại $x+2=0\Leftrightarrow x=-2$
b.

$N=x^2-20x+101=(x^2-20x+10^2)+1=(x-10)^2+1\geq 1$ do $(x-10)^2\geq 0$ với mọi $x$

Vậy $N_{\min}=1$. Giá trị này đạt tại $x-10=0\Leftrightarrow x=10$

Bài 2:

a.

$C=-y^2+6y-15$
$-C=y^2-6y+15=(y^2-6y+9)+6=(y-3)^2+6\geq 6$ (do $(y-3)^2\geq 0$ với mọi $y$)

$\Rightarrow C\leq -6$

Vậy $C_{\max}=-6$. Giá trị này đạt tại $y-3=0\Leftrightarrow y=3$
b.

$-B=x^2-9x+12=(x^2-9x+4,5^2)-8,25=(x-4,5)^2-8,25\geq -8,25$ do $(x-4,5)^2\geq 0$ với mọi $x$

$\Rightarrow B\leq 8,25$
Vậy $B_{\max}=8,25$. Giá trị này đạt tại $x-4,5=0\Leftrightarrow x=4,5$

ta co A=4x^2-2x+3

A=4x^2-2x+1+2

a=

1)

a)  \(M=\)\(x^2\)\(+\)\(4x\)\(+\)\(9\)

\(=\)\(x^2\)\(+\)\(2x\)\(.\)\(2\)\(+\)\(4\)\(+\)\(5\)

\(=\left(x+2\right)^2\)\(+\)\(5\)\(>;=\)\(5\)

Dấu bằng xảy ra khi x + 2 = 0

                               x      = -2

Vậy GTNN của M bằng 5 khi x = -2

b)  \(N=\)\(x^2\)\(-\)\(20x\)\(+\)\(101\)

\(=\)\(x^2\)\(-\)\(2x\)\(.\)\(10\)\(+\)\(100\)\(+\)\(1\)

\(=\)\(\left(x-10\right)^2\)\(+\)\(1\)\(>;=\)\(1\)

Dấu bằng xảy ra khi x - 10 = 0

                              x        =   10

Vậy GTNN của N bằng 1 khi x = 10

2)

a)  \(C=\)\(-y^2\)\(+\)\(6y\)\(-\)\(15\)

\(=\)\(-y^2\)\(+\)\(2y\)\(.\)\(3\)\(-\)\(9\)\(-\)\(6\)

\(=\)\(-\left(y-3\right)^2\)\(-\)\(6\)\(< ;=\)\(6\)

Dấu bằng xảy ra khi y - 3 = 0

                               y      = 3

Vậy GTLN của C bằng -6 khi y = 3

b)  \(B=\)\(-x^2\)\(+\)\(9x\)\(-\)\(12\)

\(=\)\(-x^2\)\(+\)\(2x\)\(.\)\(\frac{9}{2}\)\(-\)\(\frac{81}{4}\)\(+\)\(\frac{81}{4}\)\(-\)\(12\)

\(=\)\(-\left(x-\frac{9}{2}\right)^2\)\(+\)\(\frac{33}{4}\)\(< ;=\)\(\frac{33}{4}\)

Dấu bằng xảy ra khi  \(x-\frac{9}{2}=0\)

                                \(x=\frac{9}{2}\)

Vậy GTLN của B bằng  \(\frac{33}{4}\)khi x =  \(\frac{9}{2}\)

a) M = x² + 4x + 9 = x² + 4x + 4 + 5 = (x + 2)² + 5 

Vì : \(\left(x+2\right)^2\ge0\forall x\in R\) 

Nên M = (x + 2)² + 5 \(\ge5\forall x\in R\)

Vậy M_min = 5 khi x = -2

b) N = x² - 20x + 101 = x² - 20x + 100 + 1 = (x - 10)² + 1 

Vì \(\left(x-10\right)^2\ge0\forall x\in R\)

Nên : N = (x - 10)² + 1 \(\ge1\forall x\in R\)

Vậy N_min = 1 khi x = 10

Bài 2 : 

a) C = -y² + 6y - 15 = -(y² - 6y + 15) = -(y² - 6y + 9 + 6) = -(y² - 6y + 9) - 6 = -(y - 3)² - 6

Vì \(-\left(y-3\right)^2\le0\forall x\in R\)

 Nên : C = -(y - 3)² - 6 \(\le-6\forall x\in R\)

Vậy C_min = -6 khi y = 3 

b) B = -x² + 9x - 12 = -(x² - 9x + 12) = -(x² - 9x +  \(\frac{81}{4}-\frac{33}{4}\)) = \(-\left(x-\frac{9}{2}\right)^2+\frac{33}{4}\)

Vì \(-\left(x-\frac{9}{2}\right)^2\le0\forall x\in R\)

Nên :  B = \(-\left(x-\frac{9}{2}\right)^2+\frac{33}{4}\) \(\le\frac{33}{4}\forall x\in R\)

Vậy B_min = \(\frac{33}{4}\) khi \(x=\frac{9}{2}\)

\(-5x^2+20x-49=-5\left(x^2-4x+4\right)-29=-5\left(x-2\right)^2-29\le-29\)

Vậy bt luôn âm với mọi x