Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác ABC thoả điều kiện \(a^3+b^3+c^3=3abc.\) Chứng minh rằng: \(sin^2A+cos^2B=1\)
Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh của \(\Delta ABC\) sao cho thỏa điều kiện \(a^3+b^3+c^3=3abc\) . CMR: \(\sin^2A+\cos^2B=1\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số, ta được:
a3+b3+c3\(\ge\)3\(\sqrt[3]{a^3b^3c^3}\)=3abc
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Do vậy để thỏa mãn điều kiện đề bài, các số a,b,c buộc phải bằng nhau
Khi đó tam giác ABC là tam giác đều
Do đó Sin2A+Cos2B=\(\frac{3}{4}\)+\(\frac{1}{4}\)=1
Vậy Sin2A+Cos2B=1
Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh của \(\Delta ABC\) sao cho thỏa điều kiện \(a^3+b^3+c^3=3abc\) . CMR: \(\sin^2A+\cos^2B=1\)
Lời giải:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow [(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\)
Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên $a+b+c\neq 0$. Do đó $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{2}+\frac{(b-c)^2}{2}+\frac{(c-a)^2}{2}=0\)
Bản thân mỗi số \((a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0, \forall a,b,c\) nên để tổng trên bằng $0$ thì:
\((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\)
Khi đó, tam giác $ABC$ đều.
\(\Rightarrow \sin ^2A+\cos ^2B=\sin ^2A+\cos ^2A=1\) (đpcm)
Lời giải:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow [(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\)
Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên $a+b+c\neq 0$. Do đó $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{2}+\frac{(b-c)^2}{2}+\frac{(c-a)^2}{2}=0\)
Bản thân mỗi số \((a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0, \forall a,b,c\) nên để tổng trên bằng $0$ thì:
\((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\)
Khi đó, tam giác $ABC$ đều.
\(\Rightarrow \sin ^2A+\cos ^2B=\sin ^2A+\cos ^2A=1\) (đpcm)
Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng: a/ sin A= b/ sin B= c/ sinC
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=62067&q=cho%20tam%20gi%C3%A1c%20ABC%20nh%E1%BB%8Dn%20c%C3%B3%20BC%3Da%3B%20AC%3Db%3B%20AB%3Dc%3BCMR%3A%20a%2FsinA%3Db%2FsinB%3Dc%2Fsin%20C
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: a,b,c. Thỏa mãn điều kiện a3+b3+c3= 3abc. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều
thực hiện trừ 2 vế ta (vế trái cho vế phải) ta được
(a+b+c).(a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca)=0
nên hoặc a+b+c=0 hoặc nhân tử còn lại bằng 0
mà a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên a+b+c>0
vậy a^2+b^2+c^2 -ab-bc-bc-ca=0
đặt đa thức đó bằng A
A=0 nên 2xA=0
phân tích thành hằng đẳng thức ta có (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
nên a=b=c vậy là tam giác đều
cho tam giác abc có bc=a ac=b ab=c
a/chứng minh rằng nếu góc a = 2 lần góc b thì a^2=b^2+bc và ngược lại
b/tính độ dài các cạnh của tam giác abc thỏa điều kiện trên biết độ dài ba cạnh tam giác là 3 số tự nhiên liên tiếp
Cho tam giác ABC có \(\frac{\sin B+2018\sin C}{2018\cos B+\cos C}=\sin A\)và độ dài các cạnh là các số tự nhiên. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác MBG có diện tích là một số tự nhiên
LÀM HỘ MK NHA!!!
THANKS!!!
Đặt \(m=2018,\frac{\sin B+m\sin C}{m\cos B+\cos C}=\sin A\Leftrightarrow b+mc=a\left(m\cos B+\cos C\right)\)
\(\Leftrightarrow b+mc=\frac{m\left(a^2+c^2-b^2\right)}{2c}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}\)
\(\Leftrightarrow2bc\left(b+mc\right)=mb\left(a^2+c^2-b^2\right)+c\left(a^2+b^2-c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2b^2c+2mbc^2=mba^2+mbc^2-mb^3+ca^2+cb^2-c^3\)
\(\Leftrightarrow\left(c+mb\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)=0\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2\)
Vậy tam giác ABC vuông tại A
Dễ dàng CM được \(S_{ABC}=6.S_{MBG}\Rightarrow bc=12.S_{MBG}\).Do vậy ta cần CM bc chia hết cho 12
( ta sử dụng tính chất của số chính phương)
- Số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1
- Số chính phương chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1
- Số chính phương lẻ chia 8 chỉ dư 1
*) Ta thấy trong 2 số \(b^2,c^2\)có ít nhất 1 số chia hết cho 3. giả sử không có số nào trong 2 số đó chia hết cho 3. Khi đó mỗi số đều chia 3 dư 1. Do đó a2 chia 3 dư 2 ( trái với tính chất số chính phương)
Do 3 là số nguyên tố nên trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 3 . (1)
*)Chứng minh trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 4. giả sử không có số nào trong 2 số đó chia hết cho 4. Khi đó \(b=4m+r;c=4n+q;r,q\in\left\{1;2;-1\right\}\)
+ Nếu \(r,q\in\left\{1;-1\right\}\Rightarrow a^2\)chia 4 dư 2 ( vô lý)
+ Nếu \(r\in\left\{-1;1\right\},q=2\) hoặc ngược lại thì a2 là số lẻ và a2 chia 8 dư 5 ( vô lý)
+ Nếu r=q=2 thì \(a^2=4\left(2m+1\right)^2+4\left(2n+1\right)^2\Rightarrow\)a chẵn
Đặt \(a=2p\Rightarrow p^2=\left(2m+1\right)^2+\left(2n+1\right)^2\Rightarrow p^2\)chia 4 dư 2 ( vô lý)
Vậy trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 4 (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
Cho tam giác nhọn ABC . chứng minh rằng:
a/ \(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C>2\)
b/\(\cos A+\cos B+\cos C\le\frac{3}{2}\)
c/\(\cot A+\cot B+\cot C\ge\sqrt{3}\)
cho tam giác abc có 3 góc nhọn. Vẽ đường cáo AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) \(0< cos^2A+cos^2B+cos^2C< 1\)
b)\(2< sin^2A+sin^2B+sin^2C< 3\)
c)sinA + sinB + sinC < 2( cosA + cosB + cosC)
d)sinB . cosC + sinC . cosB = sinA
e)tanA + tanB + tanC = tanA . tanB . tanC
Gọi \(a, b,c\) là độ dài các cạnh tam giác \(ABC\) chứng minh rằng:
\(a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc\)
Ta có: \(\begin{cases}(a-b)^2(a+b-c)\geq 0\\ (b-c)^2(b+c-a)\geq 0\\ (c-a)^2(c+a-b)\geq 0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b-c)+(b-c)^2(b+c-a)+(c-a)^2(c+a-b) \geq 0\)
\(\Leftrightarrow 6abc-2a^2(b+c-a)-2b^2(a+c-b)-2c^2(a+b-c)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\ge 3abc\) (đpcm)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)