mình chịu

không biết làm

vc

Xét hiệu \(x^4-15x+14=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+3x+7\right)\le0\)

\(\Rightarrow x^4\le15x-14\).

Tương tự: \(y^4\le15y-14;z^4\le15z-14\).

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên kết hợp giả thiết x + y + z = 5 ta có:

\(P=x^4+y^4+z^4\le15\left(x+y+z\right)-42=33\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x, y, z) = (2, 2, 1) và các hoán vị.

Vậy...

Nếu cảm thấy khó khăn khi tìm đánh giá kia thì bạn có thể làm từ từ từng bước như sau, đầu tiên so sánh \(x^2\) và \(x\) bằng 1 đánh giá cơ bản:

\(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\Leftrightarrow x^2\le3x-2\)

Tiếp theo ta so sánh \(x^4\) với \(x^2\) bằng 1 đánh giá tương tự:

\(\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\le0\Leftrightarrow x^4\le5x^2-4\)

\(\Rightarrow x^4\le5\left(3x-2\right)-4\Leftrightarrow x^4\le15x-14\)

Ta co:\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{9}{3}=3\) ; \(xyz\le\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}=\frac{27}{27}=1\)

\(P=x^4+y^4+z^4+12\left(1-z-y+yz-x+xz+xy-xyz\right)\)

\(=x^4+y^4+z^4+12-12xyz-12\left(x+y+z\right)+12\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}+12-12.\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}-12.3+12\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\ge3+12-12.1-36+4.\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)\)

\(\ge-33+4.\left(xy+yz+zx\right)\left(\frac{x+y+z}{xyz}\right)\)

\(=-33+4.\left(xy+yz+zx\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\ge-33+4\left(xy.\frac{1}{xy}+yz.\frac{1}{yz}+zx.\frac{1}{zx}\right)^2\)

\(=-33+4\left(1+1+1\right)^2=-33+36=3\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=1\)

Vay \(P_{min}=3\)khi \(x=y=z=1\)

phân tích đa thức thành nhân tử

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\) Thay x+y+z=0 vào

\(\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+yz+xz\right)\) (1)

Ta có

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\) (2)

Bình phương 2 vế của (1)

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(xy+yz+xz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xy^2z+2xyz^2+2x^2yz\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left[x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xyz\left(x+y+z\right)\right]\)

Do x+y+z=0 nên

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}=2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\) (3)

Thay (3) vào (2)

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}\)

\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\) (đpcm)

Áp dụng BĐT Cauhy-Schwarz ta có:

\(A=x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)

\(\ge\frac{\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2}{3}=\frac{\frac{1}{9}}{3}=\frac{1}{27}\)

Xảy ra khi x=y=z=1/3

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)

Tương tự rồi cộng theo vế rồi rút gọn:

\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)

Tiếp tục use AM-GM:

\(x^2y^2+y^2z^2=y^2\left(x^2+z^2\right)\ge2xy^2z\)

Tương tự rồi cộng theo vế rồi rút gọn:

\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow VT=x^4+y^4+z^4\ge3xyz=VP\left(vi`...x+y+z=3\right)\)

Khi \(x=y=z=1\)