a+b+c+d=0 
=>a+b=-(c+d) 
=> (a+b)^3=-(c+d)^3 
=> a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3-d^3-3cd(c+d) 
=> a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab(a+b)-3cd(c+d) 
=> a^3+b^3+c^3+d^3=3ab(c+d)-3cd(c+d) ( vi a+b = - (c+d)) 
==> a^3 +b^^3+c^3+d^3==3(c+d)(ab-cd) (dpcm)

Cho mk nói bạn Alan Walker chỉ là hs lớp 6 sao tài vậy

Nếu bạn ko biết làm thì thôi

Làm nhục anh em bạn ạ

.Tuy nhiên mik có thể chữa lại đề cho ae dễ đọc nha:

Cho a,b,c>0 và:

\(P=\frac{a^3}{a^2}+ab+b^2+\frac{b^3}{b^2}+bc+c^2+\frac{c^3}{c^2}+ac+a^2.\)

\(Q=\frac{b^3}{a^2}+ab+b^2+\frac{c^3}{b^2}+bc+c^2+\frac{a^3}{c^2}+ac+a^2.\)

Chứng minh rằng:P=Q.

cho 2 biểu thức mà c/m 1 biểu thức M là sao

Biểu thức N vứt sọt à hay làm cái j v :V

tớ cũng nghĩ vậy nhưng mãi sau mới biết chứng minh M =N rồi chứng minh N >=(a+b+c)/8 để suy ra M  >=(a+b+c)/8

`(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)`

`<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)`

`<=>a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`

`<=>2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca`

`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`

`VT>=0`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c`

`a^3+b^3+c^3=3abc`

`<=>a^3+b^3+c^3-3abc=0`

`<=>(a+b)^3+c^3-3abc-3ab(a+b)=0`

`<=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0`

`<=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0`

`**a+b+c=0`

`**a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`

`<=>a=b=c`

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\((ab+c)(ac+b)\leq \left(\frac{ab+c+ac+b}{2}\right)^2=\frac{(a+1)^2(b+c)^2}{4}\)

\((ab+c)(bc+a)\leq \left(\frac{ab+c+bc+a}{2}\right)^2=\frac{(b+1)^2(c+a)^2}{4}\)

\((ac+b)(bc+a)\leq \left(\frac{ac+b+bc+a}{2}\right)^2=\frac{(c+1)^2(a+b)^2}{4}\)

Nhân theo vế:

\(\Rightarrow [(ab+c)(ac+b)(bc+a)]^2\leq [(a+b)(b+c)(c+a)]^2.\frac{[(a+1)(b+1)(c+1)]^2}{64}\)

Mà:

\((a+1)(b+1)(c+1)\leq \left(\frac{a+1+b+1+c+1}{3}\right)^3=(\frac{6}{3})^3=8\)

Do đó:

\(\Rightarrow [(ab+c)(ac+b)(bc+a)]^2\leq [(a+b)(b+c)(c+a)]^2.\frac{8^2}{64}\)

\(\Leftrightarrow[(ab+c)(ac+b)(bc+a)]^2\leq [(a+b)(b+c)(c+a)]^2\)

\(\Rightarrow (ab+c)(ac+b)(bc+a)\leq (a+b)(b+c)(c+a)\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$