Tính giá trị của biểu thức: \(A=\dfrac{1-ax}{1+ax}\sqrt{\dfrac{1+bx}{1-bx}}\) với \(x=\dfrac{1}{a}.\sqrt{\dfrac{2a}{b}-1}\left(0< a< b< 2a\right)\)
Tính giá trị của biểu thức: \(A=\dfrac{1-ax}{1+ax}\sqrt{\dfrac{1+bx}{1-bx}}\) với \(x=\dfrac{1}{a}.\sqrt{\dfrac{2a}{b}-1}\left(0< a< b< 2a\right)\)
Tính giá trị của biểu thức: \(A=\dfrac{1-ax}{1+ax}\sqrt{\dfrac{1+bx}{1-bx}}\) với \(x=\dfrac{1}{a}.\sqrt{\dfrac{2a}{b}-1}\) (0<a<b<2a)
Tham khảo:
\(x=\dfrac{1}{a}.\sqrt{\dfrac{2a}{b}-1}\Rightarrow ax=\sqrt{\dfrac{2a}{b}-1}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+ax=\dfrac{\sqrt{2a-b}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}}\\1-ax=\dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{2a-b}}{\sqrt{b}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1-ax}{1+ax}=\dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{2a-b}}{\sqrt{b}+\sqrt{2a-b}}=\dfrac{\left(\sqrt{b}-\sqrt{2a-b}\right)^2}{2\left(b-a\right)}\)
Lại có:
\(\dfrac{1+bx}{1-bx}=\dfrac{a+\sqrt{2ab-b^2}}{a-\sqrt{2ab-b^2}}=\dfrac{a^2-\left(2ab-b^2\right)}{\left(a-\sqrt{2ab-b^2}\right)^2}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(a-\sqrt{2ab-b^2}\right)^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{1+bx}{1-bx}}=\dfrac{b-a}{a-\sqrt{2ab-b^2}}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{1-ax}{1+ax}.\sqrt{\dfrac{1+bx}{1-bx}}=\dfrac{\left(\sqrt{b}-\sqrt{2a-b}\right)^2}{2a-2\sqrt{2ab-b^2}}=\dfrac{2a-2\sqrt{2ab-b^2}}{2a-2\sqrt{2ab-b^2}}=1\)
Tính giá trị của biểu thức: \(A=\dfrac{1-ax}{1+ax}\sqrt{\dfrac{1+bx}{1-bx}}\) với \(x=\dfrac{1}{a}.\sqrt{\dfrac{2a}{b}-1}\) (0<a<b<2a)
Rút gọn biểu thức: \(A=\dfrac{1-ax}{1+ax}\sqrt{\dfrac{1+bx}{1-bx}}\)với \(x=\dfrac{1}{a}\sqrt{\dfrac{2a-b}{b}}\)và 0 < a < b < 2a
Lời giải:
\(x=\frac{1}{a}\sqrt{\frac{2a-b}{b}}\Rightarrow ax=\sqrt{\frac{2a-b}{b}}\)
\(\Rightarrow 1+ax=\frac{\sqrt{2a-b}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}}; 1-ax=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{2a-b}}{\sqrt{b}}\)
\(\Rightarrow \frac{1-ax}{1+ax}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{2a-b}}{\sqrt{b}+\sqrt{2a-b}}=\frac{(\sqrt{b}-\sqrt{2a-b})^2}{2(b-a)}\)
Lại có:
\(\frac{1+bx}{1-bx}=\frac{a+\sqrt{2ab-b^2}}{a-\sqrt{2ab-b^2}}=\frac{a^2-(2ab-b^2)}{(a-\sqrt{2ab-b^2})^2}=\frac{(a-b)^2}{(a-\sqrt{2ab-b^2})^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{1+bx}{1-bx}}=\frac{b-a}{a-\sqrt{2ab-b^2}}\)
Do đó:
$A=\frac{(\sqrt{b}-\sqrt{2a-b})^2}{2a-2\sqrt{2ab-b^2}}=\frac{2a-2\sqrt{2ab-b^2}}{2a-2\sqrt{2ab-b^2}}=1$
Câu 2.Cho x =\(\dfrac{1}{a}\sqrt{\dfrac{2a-b}{b}}\) (a>b>0).Chứng minh biểu thức sau là số nguyên
P=\(\dfrac{1-ax}{1-bx}\sqrt{\dfrac{1+bx}{1-b}}\)
Cho \(x,y,z\ne2\), 2a=by+cz, 2b=bx+cz, 2c=ax+by
Tính giá trị của biểu thức:
\(A=\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{y+2}+\dfrac{1}{z+2}\)
Cho hai biểu thức $A = \dfrac1{\sqrt x - 1}$ và $B = \left(\dfrac{-3\sqrt x}{x\sqrt x - 1} - \dfrac1{1 - \sqrt x}\right):\left(1 - \dfrac{x + 2}{1 + \sqrt x + x}\right)$ với $x \ge 0$ và $x \ne 1$.
a. Tính giá trị của $A$ khi $x = 4 - 2\sqrt3$.
b. Chứng minh giá trị của $B$ không phụ thuộc vào $x$.
c. Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $\dfrac{2A}B$ nhận giá trị nguyên.
a,Ta có \(x=4-2\sqrt{3}=\sqrt{3}^2-2\sqrt{3}+1=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}=\left|\sqrt{3}-1\right|=\sqrt{3}-1\)do \(\sqrt{3}-1>0\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{\sqrt{3}-1-1}=\frac{1}{\sqrt{3}-2}\)
b, Với \(x\ge0;x\ne1\)
\(B=\left(\frac{-3\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}-\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\left(1-\frac{x+2}{1+\sqrt{x}+x}\right)\)
\(=\left(\frac{-3\sqrt{x}+x+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right):\left(\frac{x+\sqrt{x}+1-x-2}{x+\sqrt{x}+1}\right)\)
\(=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}.\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=1\)
Vậy biểu thức ko phụ thuộc biến x
c, Ta có : \(\frac{2A}{B}\)hay \(\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)để biểu thức nhận giá trị nguyên
thì \(\sqrt{x}-1\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)
\(\sqrt{x}-1\) | 1 | -1 | 2 | -2 |
\(\sqrt{x}\) | 2 | 0 | 3 | -1 |
x | 4 | 0 | 9 | vô lí |
a. Ta có .
b. Với và ta có:
Cho biểu thức : P= 1+\(\left(\dfrac{2a+\sqrt{a}-1}{1-a}-\dfrac{2a\sqrt{a}-\sqrt{a}+a}{1-a\sqrt{a}}\right).\dfrac{a-\sqrt{a}}{2\sqrt{a}-1}\)
a,Rút gọn P .
b,Chứng minh rằng \(P>\dfrac{2}{3}\)
c,Cho \(P=\dfrac{\sqrt{6}}{1+\sqrt{6}}\) ,tìm giá trị của a?
a ĐKXĐ \(a\ge0,a\ne\dfrac{1}{4},a\ne1\)
\(\Rightarrow P=1+\left(\dfrac{\left(2\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}-\dfrac{\sqrt{a}\left(2\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}-1}\)
= \(1+\left(\dfrac{\left(-1\right)\left(2\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}+\dfrac{\sqrt{a}\left(2\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{2\sqrt{a}-1}\)
= \(1+\left(-1+\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{a+\sqrt{a}+1}\right)\sqrt{a}\)
= \(1-\sqrt{a}+\dfrac{a\sqrt{a}+a}{a+\sqrt{a}+1}\) = \(\dfrac{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)+a\sqrt{a}+a}{a+\sqrt{a}+1}=\dfrac{1-a\sqrt{a}+a\sqrt{a}+a}{a+\sqrt{a}+1}=\dfrac{a+1}{a+\sqrt{a}+1}\)
b Xét hiệu \(P-\dfrac{2}{3}=\dfrac{a+1}{a+\sqrt{a}+1}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{3a+3-2a-2\sqrt{a}-2}{a+\sqrt{a}+1}=\dfrac{a-2\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}+1}=\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{a+\sqrt{a}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\left(\sqrt{a}+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}>0\) \(\Rightarrow P>\dfrac{2}{3}\)
c Ta có \(P=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}+1}\Rightarrow\dfrac{a+1}{a+\sqrt{a}+1}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}+1}\) \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(\sqrt{6}+1\right)=\sqrt{6}\left(a+\sqrt{a}+1\right)\Leftrightarrow a\sqrt{6}+a+\sqrt{6}+1=a\sqrt{6}+\sqrt{6a}+\sqrt{6}\)
\(\Leftrightarrow a-\sqrt{6a}+1=0\Leftrightarrow a-\sqrt{6a}+\dfrac{6}{4}-\dfrac{2}{4}=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{a}=\dfrac{\sqrt{6}+1}{2}\\\sqrt{a}=\dfrac{1-\sqrt{6}}{2}\left(L\right)\end{matrix}\right.\) (Do \(\sqrt{a}\ge0\)) \(\Rightarrow a=\dfrac{\left(\sqrt{6}+1\right)^2}{4}=\dfrac{7+2\sqrt{6}}{4}\left(TM\right)\)
Vậy...
Đối với phương trình `ax^2 +bx +c=0` \(\left(a\ne0\right)\) và biệt thức \(\Delta=b^2-4ac\)
`-` Nếu \(\Delta>0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
\(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a};x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
`-` Nếu \(\Delta=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}\)
`-` Nếu \(\Delta< 0\) thì phương trình vô nghiệm
Theo kết luận trên áp dụng với bài sau đây :
`a, 7x^2 -2x+3=0`
`b,6x^2 +x+5=0`
`c, 6x^2 +x-5=0`
`a) 7x^2 - 2x + 3 = 0`
`(a = 7; b = -2; c = 3)`
`Δ = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4.7.3 = -80 < 0`
`=>` phương trình vô nghiệm
`b) 6x^2 + x + 5 = 0`
`(a = 6;b = 1;c = 5)`
`Δ = b^2 - 4ac = 1^2 - 4.6.5 = -119 < 0`
`=>` phương trình vô nghiệm
`c) 6x^2 + x - 5 = 0`
`(a = 6;b=1;c=-5)`
`Δ = b^2 - 4ac = 1^2 - 4.6.(-5) = 121 > 0`
`=>` phương trình có 2 nghiệm phân biệt
`x_1 = (-b + sqrt{Δ})/(2a) = (-1+ sqrt{121})/(2.6) = (-1+11)/12 = 10/12 = 5/6`
`x_2 = (-b - sqrt{Δ})/(2a) = (-1- sqrt{121})/(2.6) = (-1-11)/12 = -12/12 = -1`
Vậy phương trình có 1 nghiệm `x_1 = 5/6; x_2 = -1`
ủa, mấy bài đó tương tự như ct mà:
\(7x^2-2x+3=0\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=7\\b=-2\\c=3\end{matrix}\right.\)
\(\Delta=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4.7.3=-80\)
Vì \(\Delta< 0\) \(\Rightarrow\) pt vô nghiệm
a)
`7x^2 -2x+3=0`
có \(\Delta=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4\cdot7\cdot3=-80< 0\)
=> phương trình vô nghiệm
b)
`6x^2 +x+5=0`
có \(\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot6\cdot5=-119< 0\)
=> phương trình vô nghiệm
c)
`6x^2 +x-5=0`
có \(\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot6\cdot\left(-5\right)=121>0\)
\(=>x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{121}}{2\cdot6}=\dfrac{5}{6}\)
\(=>x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{121}}{2\cdot6}=-1\)