Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$a^2+9\geq 2\sqrt{9a^2}=2|3a|\geq 6a$

Tương tự: $b^2+9\geq 6b; c^2+9\geq 6c$

Cộng theo vế:

$a^2+b^2+c^2\geq 6(a+b+c)-27(*)$

Cũng áp dụng BĐT AM-GM:

$a^2+b^2\geq 2\sqrt{a^2b^2}=2|ab|\geq 2ab$

Hoàn toàn tương tự và cộng theo vế:

$2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)$

$\Leftrightarrow 6(a^2+b^2+c^2)\geq 6(ab+bc+ac)(**)$

Lấy $(*)+(**)\Rightarrow 7(a^2+b^2+c^2)\geq 6(a+b+c+ab+bc+ac)-27=6.36-27=189$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 27$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=3$

Cô-si đơn giản =) 

Có \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

Nên 

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\left(1\right)\)

\(a+c\ge2\sqrt{ac}\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2\ge4ac\left(2\right)\)

\(c+b\ge2\sqrt{bc}\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc\left(3\right)\)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2ac+2bc\ge4ab+4ac+4bc\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

Mà Theo đề \(a+b+c+ab+bc+ac=36\) (a=b=c=3)  \(\Leftrightarrow ab+bc+ac=27\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge27\left(đpcm\right)\)

Áp dụng bđt phụ \(x^2+y^2+z^2+1\ge\frac{2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)}{3}\)nhé =))

Ta có:

\(\left(a-3\right)^2\ge0\forall a\).

\(\Leftrightarrow a^2-6a+9\ge0\Leftrightarrow a^2+9\ge6a\forall a\)..

\(\Leftrightarrow a^2\ge6a-9\forall a\left(1\right)\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=3\).

Tương tự, ta được:

\(b^2\ge6b-9\forall b\left(2\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=3\)

Tương tự, ta được:

\(c^2+9\ge6c-9\forall c\left(3\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow c=3\).

Lại có:

\(3\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\).

\(\Leftrightarrow3a^2-6ab+3b^2\ge0\forall a;b\).

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2\right)\ge6ab\forall a;b\left(4\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\).

Tương tự, ta được:

\(3\left(b^2+c^2\right)\ge6bc\forall b;c\left(5\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=c\).

Tương tự, ta được:

\(3\left(c^2+a^2\right)\ge6ac\forall a;c\left(6\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=c\).

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right),\left(5\right),\left(6\right)\), ta được:

\(a^2+b^2+c^2+3\left(a^2+b^2\right)+3\left(b^2+c^2\right)+3\left(c^2+a^2\right)\)\(\ge6a+6b+6c+6ab+6bc+6ca-9-9-9\).

\(\Leftrightarrow7\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)-27\).

\(\Leftrightarrow7\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6.36-27\)(vì \(a+b+c+ab+bc+ca=36\)).

\(\Leftrightarrow7\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge189\).

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge27\)(điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=3\).

 Vậy với các số \(a,b,c\)thỏa mãn \(a+b+c+ab+bc+ca=36\)thì \(a^2+b^2+c^2\ge27\).

cho 2 biểu thức mà c/m 1 biểu thức M là sao

Biểu thức N vứt sọt à hay làm cái j v :V

tớ cũng nghĩ vậy nhưng mãi sau mới biết chứng minh M =N rồi chứng minh N >=(a+b+c)/8 để suy ra M  >=(a+b+c)/8

Từ ab/(a+b)=bc/(b+c). Nhân chéo suy ra a=c

Chứng minh tương tự suy ra  a=b=c

Thay hết thành a vào M tính ra M=1

Sos

Sos

Ta có: \(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ac}{a+c}.\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{a+c}{ac}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}.\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

Khi đó: \(P=\frac{ab^2+bc^2+ac^2}{a^3+b^3+c^3}=1.\)

Vậy \(P=1.\)

Chúc bạn học tốt!