cho 2 số nguyên dương lẻ m,n nguyên tố cùng nhau và
\(\left\{{}\begin{matrix}m^2+2⋮n\\n^2+2⋮m\end{matrix}\right.\)
chứng minh rằng \(m^2+n^2+2⋮4mn\)
Những câu hỏi liên quan
Cho 2 số nguyên dương lẻ m,n nguyên tố cùng nhau và \(\hept{\begin{cases}m^2+2⋮n\\n^2+2⋮m\end{cases}}\)
CMR: \(m^2+n^2+2⋮4mn\)
Ta có : \(m;n\)là hai số nguyên tố cùng nhau.
\(\RightarrowƯCLN(m;n)=1\)
Mà \(m^2⋮n\)
\(n^2⋮m\)
Và có : \(m;n\)là hai số lẻ nguyên dương
\(\Rightarrow m=m=1\)
\(\Rightarrow m^2+n^2+2=4\)
\(\Rightarrow4m.n=4\)
\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4mn\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}m^2+2⋮n\\n^2+2⋮m\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(m^2+2\right)\left(n^2+2\right)⋮mn\)
\(\Rightarrow m^2n^2+2m^2+2n^2+4⋮mn\)
\(\Rightarrow2m^2+2n^2+4⋮mn\)
\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮mn\left(1\right)\)
Vì m, n lẻ
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m^2\equiv1\left(mod4\right)\\n^2\equiv1\left(mod4\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4mn\)
Đúng 0
Bình luận (0)
5 tháng 3 2020 lúc 12:37
a,Tìm cặp (x,y) sao cho y đạt giá trị nhỏ nhất thỏa mãn
x2+5y2+2y-4xy-3=0
b,Cho 2 số nguyên dương lẻ m,n và nguyên tố cùng nhau thỏa mãn \(m^2+2⋮n,n^2+2⋮m\).Chứng minh rằng \(m^2+n^2+2⋮4mn\)
a, x2+5y2+2y-4xy-3=0
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)
Nếu \(y< -3\Rightarrow y+1< -2\Rightarrow\left(y+1\right)^2>4\Rightarrow VT>VP\)(vô lí)
\(\Rightarrow y\ge-3\Rightarrow y_{min}=-3\)
lúc đó \(\left(x+6\right)^2+4=4\Rightarrow x=-6\)
Vậy.................
a) \(x^2+5y^2+2y-4xy-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+2y+1\right)-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)
Ta thấy : \(4=0+4\) là tổng hai số chính phương
Thử các giá trị \(\orbr{\begin{cases}\left(y+1\right)^2=0\\\left(y+1\right)^2=4\end{cases}}\)
Ta thấy : \(y=-3\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Khi đó : \(x^2+5.\left(-3\right)^2+2\left(-3\right)-4x\left(-3\right)-3=0\)
\(\Leftrightarrow x=-6\)
Vậy : \(\left(x,y\right)=\left(-6,-3\right)\) với y nhỏ nhất thỏa mãn đề.
P/s : Không chắc lắm ....
b, Ta có \(\hept{\begin{cases}m^2+2⋮n\\n^2+2⋮m\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(m^2+2\right)\left(n^2+2\right)⋮mn\)
\(\Rightarrow m^2n^2+2m^2+2n^2+4⋮mn\)
\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮mn\)(1)
Vì m,n lẻ nên \(\hept{\begin{cases}m^2\equiv1\left(mod4\right)\\n^2\equiv1\left(mod4\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(m^2+n^2+2⋮4mn\)
11 tháng 6 2016 lúc 18:23
Cho m,n là 2 số nguyên tố lẻ cùng nhau thỏa mãn:
m2 +2 chia hết cho n ; n2+2 chia hết cho m
Chứng minh rằng: m2+n2+2 chia hết cho 4mn
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) xác định trên tập số nguyên và nhận giá trị cũng trong tập số nguyên, thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=0\\f\left(m+n\right)=f\left(m\right)+f\left(n\right)+3\left(4mn-1\right)\end{matrix}\right.\) với mọi m, n là số nguyên. Tính \(f\left(20\right)\)
\(f\left(20\right)=f\left(1\right)+f\left(19\right)+3\left(4.1.19-1\right)=f\left(19\right)+12.19-3\)
\(f\left(19\right)=f\left(18\right)+12.18-3\)
\(f\left(18\right)=f\left(17\right)+12.17-3\)
.....
\(f\left(3\right)=f\left(2\right)+12.2-3\)
\(f\left(2\right)=f\left(1\right)+12-3\)
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên:
\(f\left(2\right)+f\left(3\right)+...+f\left(20\right)=f\left(1\right)+f\left(2\right)+...+f\left(19\right)+12\left(1+2+...+19\right)-3.20\)
\(\Leftrightarrow f\left(20\right)=2220\)
Đoạn này bạn tính kĩ một chút nha, mình tính không biết có sai không.
Đúng 3
Bình luận (0)
Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}p-1=2x\left(x+2\right)\\p^2-1=2y\left(y+2\right)\end{matrix}\right.\) với x;y nguyên dương
Cho 2 số nguyên duơng lẻ m và n nguyên tố cùng nhau thỏa mãn:
\(\hept{\begin{cases}m^2+2⋮n\\n^2+2⋮m\end{cases}}\)
Chứng minh m2+n2+2\(⋮\)4.m.n
Mk đang cần gấp ai làm đc 3 tk
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho 2 số nguyên duơng lẻ m và n nguyên tố cùng nhau thỏa mãn:
\(\hept{\begin{cases}m^2⋮n\\n^2⋮m\end{cases}}\)
Chứng minh m2+n2+2\(⋮\)4.m.n
Mk đang cần gấp ai làm đc 3 tk
giả thiết m và n nguyên tố cùng nhau
nên ƯCLN(m;n)=1
Mà m^2chia hết cho n
Và n^2 chia hết cho m
m,n nguyên dương lẻ
nên m=n=1
Do đó m^2+n^2+2=4
4.m.n=4
Vậy ta được đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn
\(\left\{{}\begin{matrix}p-1=2x\left(x+2\right)\\p^2-1=2y\left(y+2\right)\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
Lấy PT dưới trừ PT trên thu được:
\(2y(y+2)-2x(x+2)=p^2-p\)
\(\Leftrightarrow 2(y-x)(y+x+2)=p(p-1)\)
\(\Rightarrow 2(y-x)(y+x+2)\vdots p(1)\)
Vì $p=2x(x+2)+1\geq 7$ với mọi $x$ nguyên dương nên $p$ là số nguyên tố lẻ. $\Rightarrow (2,p)=1(2)$
Lại có:
Hiển nhiên $y>x$ nên $y-x$ dương.
\((y-x)^2< 2(y-x)(y+x+2)=p(p-1)< p^2\)
\(\Rightarrow y-x< p(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow y+x+2\vdots p\)
Mà:
\(p=2x(x+2)+1>2x^2\geq 2x\Rightarrow x< \frac{p}{2}\)
\(p^2=2y(y+2)+1>y^2\Rightarrow y< p\)
\(\Rightarrow x+y+2< \frac{p}{2}+p+2< 2p\) với $p\geq 7$
Do đó để $x+y+2\vdots p$ thì $x+y+2=p$
\(\Rightarrow y-x=\frac{p-1}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{p-3}{4}\)
Thay vào PT đầu tiên:
\(p-1=\frac{p-3}{2}.\frac{p+5}{4}\)
\(\Leftrightarrow 8(p-1)=p^2+2p-15\Leftrightarrow (p+1)(p-7)=0\Rightarrow p=7\)
Đúng 0
Bình luận (4)
Lời giải:
Lấy PT dưới trừ PT trên thu được:
2y(y+2)−2x(x+2)=p2−p2y(y+2)−2x(x+2)=p2−p
⇔2(y−x)(y+x+2)=p(p−1)⇔2(y−x)(y+x+2)=p(p−1)
⇒2(y−x)(y+x+2)⋮p(1)⇒2(y−x)(y+x+2)⋮p(1)
Vì p=2x(x+2)+1≥7p=2x(x+2)+1≥7 với mọi xx nguyên dương nên pp là số nguyên tố lẻ. ⇒(2,p)=1(2)⇒(2,p)=1(2)
Lại có:
Hiển nhiên y>xy>x nên y−xy−x dương.
(y−x)2<2(y−x)(y+x+2)=p(p−1)<p2(y−x)2<2(y−x)(y+x+2)=p(p−1)<p2
⇒y−x<p(3)⇒y−x<p(3)
Từ (1);(2);(3)⇒y+x+2⋮p(1);(2);(3)⇒y+x+2⋮p
Mà:
p=2x(x+2)+1>2x2≥2x⇒x<p2p=2x(x+2)+1>2x2≥2x⇒x<p2
p2=2y(y+2)+1>y2⇒y<pp2=2y(y+2)+1>y2⇒y<p
⇒x+y+2<p2+p+2<2p⇒x+y+2<p2+p+2<2p với p≥7p≥7
Do đó để x+y+2⋮px+y+2⋮p thì x+y+2=px+y+2=p
⇒y−x=p−12⇒y−x=p−12
⇒x=p−34⇒x=p−34
Thay vào PT đầu tiên:
p−1=p−32.p+54p−1=p−32.p+54
⇔8(p−1)=p2+2p−15⇔(p+1)(p−7)=0⇒p=7
Cho 2 số tự nhiên m và n . m là số lẻ. Chứng minh rằng m và m x n + 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau.
