Lời giải:
Lấy PT dưới trừ PT trên thu được:
\(2y(y+2)-2x(x+2)=p^2-p\)
\(\Leftrightarrow 2(y-x)(y+x+2)=p(p-1)\)
\(\Rightarrow 2(y-x)(y+x+2)\vdots p(1)\)
Vì $p=2x(x+2)+1\geq 7$ với mọi $x$ nguyên dương nên $p$ là số nguyên tố lẻ. $\Rightarrow (2,p)=1(2)$
Lại có:
Hiển nhiên $y>x$ nên $y-x$ dương.
\((y-x)^2< 2(y-x)(y+x+2)=p(p-1)< p^2\)
\(\Rightarrow y-x< p(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow y+x+2\vdots p\)
Mà:
\(p=2x(x+2)+1>2x^2\geq 2x\Rightarrow x< \frac{p}{2}\)
\(p^2=2y(y+2)+1>y^2\Rightarrow y< p\)
\(\Rightarrow x+y+2< \frac{p}{2}+p+2< 2p\) với $p\geq 7$
Do đó để $x+y+2\vdots p$ thì $x+y+2=p$
\(\Rightarrow y-x=\frac{p-1}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{p-3}{4}\)
Thay vào PT đầu tiên:
\(p-1=\frac{p-3}{2}.\frac{p+5}{4}\)
\(\Leftrightarrow 8(p-1)=p^2+2p-15\Leftrightarrow (p+1)(p-7)=0\Rightarrow p=7\)
Lời giải:
Lấy PT dưới trừ PT trên thu được:
2y(y+2)−2x(x+2)=p2−p2y(y+2)−2x(x+2)=p2−p
⇔2(y−x)(y+x+2)=p(p−1)⇔2(y−x)(y+x+2)=p(p−1)
⇒2(y−x)(y+x+2)⋮p(1)⇒2(y−x)(y+x+2)⋮p(1)
Vì p=2x(x+2)+1≥7p=2x(x+2)+1≥7 với mọi xx nguyên dương nên pp là số nguyên tố lẻ. ⇒(2,p)=1(2)⇒(2,p)=1(2)
Lại có:
Hiển nhiên y>xy>x nên y−xy−x dương.
(y−x)2<2(y−x)(y+x+2)=p(p−1)<p2(y−x)2<2(y−x)(y+x+2)=p(p−1)<p2
⇒y−x<p(3)⇒y−x<p(3)
Từ (1);(2);(3)⇒y+x+2⋮p(1);(2);(3)⇒y+x+2⋮p
Mà:
p=2x(x+2)+1>2x2≥2x⇒x<p2p=2x(x+2)+1>2x2≥2x⇒x<p2
p2=2y(y+2)+1>y2⇒y<pp2=2y(y+2)+1>y2⇒y<p
⇒x+y+2<p2+p+2<2p⇒x+y+2<p2+p+2<2p với p≥7p≥7
Do đó để x+y+2⋮px+y+2⋮p thì x+y+2=px+y+2=p
⇒y−x=p−12⇒y−x=p−12
⇒x=p−34⇒x=p−34
Thay vào PT đầu tiên:
p−1=p−32.p+54p−1=p−32.p+54
⇔8(p−1)=p2+2p−15⇔(p+1)(p−7)=0⇒p=7
