câu 2: 

Với  không là lập phương  số tự nhiên

 loại

Đặt  vì  lẻ

Vì  là số nguyên tố, 

 và  là số nguyên tố

 (Khi ) là số nguyên tố

 chọn

 p−qp−q chia hết cho 2 suy ra q=k.(2k−1)(2k+1)q=k.(2k−1)(2k+1)
Do vậy qq thành tích 3 số nguyên lớn hơn 1 suy ra vô lý vì nó là nguyên tố.
Suy ra q=3,p=5q=3,p=5 Thỏa mãn
TH2: p−q−1=2tp−q−1=2t nên t=0t=0 vì nếu không thì p−q−1=0↔p−q=1↔p=3,q=2p−q−1=0↔p−q=1↔p=3,q=2 thay vào đề loại.
TH3: q=(2m−1)(2m−2)mq=(2m−1)(2m−2)m
Nếu qq thành tích 3 số nguyên lớn hơn 1 loại
Suy ra p=5,q=3p=5,q=3

tick nha

em hok cop nha

nếu thấy nghi thì tại máy tính của em nó bị lỗi đấy ạ

1.

\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)

Do vế phải chia hết cho 3  \(\Rightarrow\) vế trái chia hết cho 3

\(\Rightarrow a+b+c⋮3\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3⋮27\)

\(a+b+c⋮3\Rightarrow3\left(a+b+c\right)⋮9\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3-\left(a^3+b^3+c^3\right)-3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)⋮9\)

\(\Rightarrow3abc⋮9\Rightarrow abc⋮3\)

2.

Đặt \(2p+1=n^3\Rightarrow2p=n^3-1=\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\) (hiển nhiên n>1)

Do \(n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\) luôn lẻ \(\Rightarrow n-1\) chẵn \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(\Rightarrow2p=\left(2k+1-1\right)\left(n^2+n+1\right)=2k\left(n^2+n+1\right)\)

\(\Rightarrow p=k\left(n^2+n+1\right)\Rightarrow k=1\Rightarrow n=3\)

\(\Rightarrow p=13\)

Tham khảo:

2, Với \(p=2->2p+1=5\) không là lập phương 1 số tự nhiên

\(->p=2\) loại

\(-> p>2->(p,2)=1\)

Đặt \(2p+1=(2k+1)^3, k∈ N,\)vì \(2p+1\) lẻ

\(->2p=(2k+1)^3-1\)

\(-> 2p=(2k+1-1)[(2k+1)^2+(2k+1)+1]\)

\(->2p=2k(4k^2+6k+3)\)

\(->p=k(4k^2+6k+3)\)

Vì \(p\)  là số nguyên tố, \(4k^2+6k+3>k\)

\(->k=1\) và \(4k^2+6k+3\) là số nguyên tố.

\(->4k^2+6k+3=13(\) khi \(k=1)\) là số nguyên tố

\(->k=1\) (chọn)

\(-> 2p+1=27\)

\(->p=13\)

3.

Do \(p+q>0\Rightarrow\left(p-q\right)^3>0\Rightarrow p>q\)

Nếu \(q=2\Rightarrow\left(p-2\right)^3=p+2\Rightarrow p^3-6p^2+11p-10=0\) ko có nghiệm nguyên (loại)

\(\Rightarrow q>2\Rightarrow q\) lẻ \(\Rightarrow p;q\) cùng lẻ \(\Rightarrow p-q\) chẵn

\(\Rightarrow p-q=2k\)

Ta có:

\(\left(p-q\right)^3=p+q\Rightarrow\left(p-q\right)^3-\left(p-q\right)=2q\)

\(\Rightarrow\left(p-q\right)\left[\left(p-q\right)^2-1\right]=2q\)

\(\Rightarrow\left(p-q\right)\left(p-q-1\right)\left(p-q+1\right)=2q\) 

\(\Rightarrow2k\left(p-q-1\right)\left(p-q+1\right)=2q\)

\(\Rightarrow q=k\left(p-q-1\right)\left(p-q+1\right)\)

Do q có 3 ước, mà \(p-q+1>p-q-1\)

\(\Rightarrow q\) là SNT khi \(k=p-q-1=1\)

\(\Rightarrow p-q=2k=2\) (1)

\(\Rightarrow p+q=\left(p-q\right)^3=2^3=8\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\left(p;q\right)=\left(5;3\right)\)

p.q + 1là số nguyên tố

Mà p.q + 1 > 3 => p .q + 1 lẻ => p.q chẵn

< = > p = 2 hoặc q = 2 

Bạn liệt kê ra 

Để tìm hai số tự nhiên a và b thoả mãn a + b = 810 và ước chung lớn nhất của chúng bằng 45, ta có thể sử dụng phương pháp giải hệ phương trình. Gọi UCLN(a, b) là ước chung lớn nhất của a và b.

Vì UCLN(a, b) = 45, ta có thể viết a = 45x và b = 45y, với x và y là các số tự nhiên. Thay vào phương trình a + b = 810, ta có 45x + 45y = 810, hay x + y = 18.

Bây giờ ta cần tìm hai số tự nhiên x và y thoả mãn x + y = 18. Có nhiều cách để làm điều này, ví dụ như x = 9 và y = 9. Khi đó, a = 45x = 45 * 9 = 405 và b = 45y = 45 * 9 = 405.

Vậy, hai số tự nhiên a và b là 405 và 405.

Để tìm hai số nguyên tố p và q thoả mãn p > q và p + q cũng như p - q đều là số nguyên tố, ta cần kiểm tra các số nguyên tố và tìm hai số thoả mãn yêu cầu.

Có nhiều cách để làm điều này, ví dụ như kiểm tra từng số nguyên tố theo thứ tự tăng dần và kiểm tra điều kiện p + q và p - q cũng là số nguyên tố.

Ví dụ:

Kiểm tra số nguyên tố đầu tiên là 2. Ta sẽ thử p = 3 và q = 2. Khi đó, p + q = 3 + 2 = 5 là số nguyên tố và p - q = 3 - 2 = 1 không là số nguyên tố. Không thoả mãn yêu cầu. Tiếp theo, kiểm tra số nguyên tố thứ hai là 3. Ta sẽ thử p = 5 và q = 3. Khi đó, p + q = 5 + 3 = 8 không là số nguyên tố. Không thoả mãn yêu cầu. Tiếp tục kiểm tra các số nguyên tố tiếp theo. Cứ tiếp tục thử cho đến khi tìm được hai số thoả mãn yêu cầu.

Lưu ý rằng việc tìm hai số nguyên tố p và q thoả mãn yêu cầu là một vấn đề tương đối phức tạp và không có một cách giải đơn giản. Ta cần kiểm tra và thử nghiệm để tìm được kết quả.