Phương trình chính tắc của elip có dạng: + = 1

a) Elip đi qua M(0; 3):

+ = 1 => b² = 9

Elip đi qua N( 3; ):

+ = 1 => a² = 25

Phương trình chính tắc của elip là : + = 1

b) Ta có: c = √3 => c² = 3

Elip đi qua điểm M(1; )

+ = 1 => + = 1 (1)

Mặt khác: c² = a² – b²

=> 3 = a² – b² => a² = b² + 3

Thế vào (1) ta được : + = 1

<=> a² = 4b² + 5b² – 9 = 0 => b²= 1; b² = ( loại)

Với b²= 1 => a² = 4

Phương trình chính tắc của elip là : + = 1.

a) (E) có tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) nên \(c = \sqrt 3\).

Phương trình chính tăc của (E) có dạng

\({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

Ta có: \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right) \in (E)\)

\(\Rightarrow {1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\ (1)\)

Và \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 3\)

Thay vào (1) ta được :

\(\eqalign{ & {1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \cr & \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^2}(b + 3) \cr}\)

\(\Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 1\)

Suy ra \({a^2} = 4\)

Ta có a = 2 ; b = 1.

Vậy (E) có bốn đỉnh là : (-2 ; 0), (2 ; 0)

(0 ; -1) và (0 ; 1).

b) Phương trình chính tắc của (E) là :

\({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)

c) (E) có tiêu điểm thứ hai là điểm \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\). Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm\(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) và vuông góc với Ox có phương trình \(x = \sqrt 3\).

Phương trình tung độ giao điểm của \(\Delta\) và \((E)\) là :

\({3 \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \pm {1 \over 2}\)

Suy ra tọa độ của C và D là :

\(C\left( {\sqrt 3 ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ;{1 \over 2}} \right)\)

Vậy CD = 1.

a, Phương trình chính tắc của (E) có dạng

\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) với 0<b<a

Ta có A(0;2) \(\in\left(E\right)\)<=>b=2

(E) có tiêu điểm F₁\(\left(-\sqrt{5};0\right)\) => c=\(\sqrt{5}\)

Ta có \(a^2=b^2+c^2=4+5=9\)=>a=3

==> (E) \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)

b, 2a = 6; 2b = 4; 2c = \(2\sqrt{5}\)=>\(\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)

c, S=4ab=24

Gọi pt chính tắc của elip cần tìm là \(\left(E\right):\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Do (E) đi qua \(\left(2;2\sqrt{6}\right)\) nên \(\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{24}{b^2}=1\). Đồng thời (E) đi qua \(N\left(4;-\sqrt{15}\right)\) nên \(\dfrac{16}{a^2}+\dfrac{15}{b^2}=1\). Ta có hệ pt: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{24}{b^2}=1\\\dfrac{16}{a^2}+\dfrac{15}{b^2}=1\end{matrix}\right.\) . (I)

Đặt \(\dfrac{1}{a^2}=u\) và \(\dfrac{1}{b^2}=v\) \(\left(u,v>0\right)\). Khi đó hệ (I) trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}4u+24v=1\\16u+15v=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{36}\\v=\dfrac{1}{27}\end{matrix}\right.\) (nhận) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{36}\\\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{27}\end{matrix}\right.\) 

Vậy pt chính tắc của elip cần tìm là \(\left(E\right):\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{27}=1\)

 Khi đó \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-27}=3\) nên tọa độ các tiêu điểm của *(E) là \(F_1\left(-3;0\right);F_2\left(3;0\right)\) . Tâm sai của (E) là \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)

phương trình (E) có dạng:

\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)

Vì (E) đi qua điểm M nên

\(\dfrac{\dfrac{9}{5}}{a^2}+\dfrac{\dfrac{16}{5}}{b^2}=1\)

\(\dfrac{9}{a^2}+\dfrac{16}{b^2}=5\)(1)

Do tam giác \(MF_1F_2\)vuông tại M

Nên M thuộc đường tròn \(x^2+y^2=c^2\)

\(\dfrac{9}{5}+\dfrac{16}{5}=c^2\)

\(5=c^2\)

\(a^2-b^2=5\)

\(a^2=5+b^2\)

Thế vào pt(1)

\(9b^2+16a^2=5a^2b^2\)

\(9b^2+16\left(5+b^2\right)=5b^2\left(5+b^2\right)\)

\(5b^4-80=0\)

\(b^2=\pm4\)

\(\Rightarrow b^2=4\Rightarrow a^2=9\)

\(\left(E\right):\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\)

\(\Rightarrow c=\sqrt{5};e=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

Theo đề ra ta có hệ : 

 \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{a^2}=1\\\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{\dfrac{3}{4}}{b^2}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\\dfrac{\dfrac{3}{4}}{b^2}=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)

Vậy (a,b) = (2,1)