Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng
A= a/(b+c-a) + b/(a+c-b) + c/(a+b-c) lớn hơn hoặc bằng 3
Cho a, b ,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
Chứng minh rằng: abc lớn hơn hoặc bằng (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
vì a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác áp dụng bđt tam giác ta có\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b>c\Rightarrow a+b-c>0\\a+c>b\Rightarrow a+c-b>0\\b+c>a\Rightarrow b+c-a>0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b-c};\sqrt{a+c-b};\sqrt{b+c-a}\)luôn được xác định\(\left(\sqrt{a+b-c}-\sqrt{a+c-b}\right)>=0\Rightarrow a+b-c-2\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}+a+c-b\)\(>=0\Rightarrow a+b-c+a+c-b>=2\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}\Rightarrow\frac{a+b-c+a+c-b}{2}=\frac{2a}{2}\)
\(=a>=\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}\)
tương tự ta có :\(b>=\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)};c>=\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}\)
\(\Rightarrow abc>=\sqrt{\left(a+b-c\right)^2\left(a+c-b\right)^2\left(b+c-a\right)^2}=\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\)
dấu = xảy ra khi a=b=c
dòng 3 là vì \(\left(\sqrt{a+b-c}-\sqrt{a+c-b}\right)^2>=0\)nhá
Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
\(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)lớn hơn hoặc bằng 3
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=b+c-a\\y=a+c-b\\z=a+b-c\end{cases}}\left(x;y;z>0\right)\).Ta có:
\(x+y=b+c-a+a+c-b=2c\Rightarrow c=\frac{x+y}{2}\)
\(y+z=a+c-b+a+b-c=2a\Rightarrow a=\frac{y+z}{2}\)
\(z+x=a+b-c+b+c-a=2b\Rightarrow b=\frac{z+x}{2}\)
Do đó: \(A=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)
\(\Leftrightarrow2A=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\ge6\) (BĐT AM-GM)
\(\Rightarrow A\ge\frac{6}{2}=3\).Dấu "=" khi a=b=c
Biết a,,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và 0 nhỏ hơn hoặc bằng t nhỏ hơn hoặc bằng 1 chứng minh rằng :
\(\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b-c}}\)lớn hơn hoặc bằng \(2\sqrt{t+1}\)
cho a,b,c là cạnh của 1 tam giác chứng minh rằng: 2(a/b + b/c + c/a) lớn hơn hoặc bằng a/c + b/a + c/b
Cho a,b,c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng:
(a/b+c-a) + (b/a+c-b) + (c/a+b-c) lớn hơn hoặc bằng 3
Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a*b+b*c+c*a nhỏ hơn hoặc bằng a^2+b^2+c^2 nhỏ hơn 2*(a*b+b*c+c*a)
cho a, b,c là\(\) 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:
\(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\) lớn hơn hoặc bằng 3Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh :(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) <=(bé hơn hoặc bằng) abc
Vì a:b:c là độ dài cạnh tam giác nên \(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}}}\)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=\frac{2b}{2}=b\)(1)
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)}\le\frac{a+b-c+c+a-b}{2}=\frac{2a}{2}=a\)(2)
\(\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}\le\frac{b+c-a+c+a-b}{2}=\frac{2c}{2}=c\)(3)
Nhân vế với vế của (1); (2);(3) lại ta được :
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)^2\left(b+c-a\right)^2\left(c+a-b\right)^2}\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)(đpcm)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
a / b + c + b / c + a + c / c + b nhỏ hơn 2
GIẢI
Giả sử : \(a\ge b\ge c>0\) thì \(a+b\ge a+c\ge b+c\)
Ta có : \(\frac{a}{b+c}=\frac{a}{b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}\le\frac{b}{b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}\le\frac{c}{b+c}\)
Cộng vế theo vế ta được :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a+b+c}{b+c}\)
Hay : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a}{b+c}+1< 1+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}< 2\)
Chúc bạn học tốt !!!
GIẢI
Giả sử : a\ge b\ge c>0a≥b≥c>0 thì a+b\ge a+c\ge b+ca+b≥a+c≥b+c
Ta có : \frac{a}{b+c}=\frac{a}{b+c}b+ca=b+ca
\frac{b}{c+a}\le\frac{b}{b+c}c+ab≤b+cb
\frac{c}{a+b}\le\frac{c}{b+c}a+bc≤b+cc
Cộng vế theo vế ta được :
\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a+b+c}{b+c}b+ca+c+ab+c+bc≤b+ca+b+c
Hay : \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a}{b+c}+1< 1+1=2b+ca+c+ab+c+bc≤b+ca+1<1+1=2
Vậy \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}< 2b+ca+c+ab+c+bc<2