b, Ta có \(m=a+b+c\)

          \(\Rightarrow am+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=a\left(a+b\right)+ac+bc=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

CMTT \(bm+ac=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\);\(cm+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

Suy ra \(\left(am+bc\right)\left(bm+ac\right)\left(cm+ab\right)=\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2\)

Ta có:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

=>Chia 2 vế cho a+b

Ta có:\(a^2+ab+b^2\ge ab\)

=>Trừ 2 vế cho ab \(a^2+b^2\ge0\)

Vì a² >=0 Với mọi a

b² >= 0 với mọi b

=> a²+b²>= 0 với mọi a,b

Dấu bằng xảy ra khi:

a²=0 và b²=0

=> a=b=0

Vậy \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) khi a=b=0

Cách 2 a³+b³>=ab(a+b)

=>a³-a²b +b³-ab²>=)

=> a²(a-b)-b²(a-b)>=0

=>(a-b)²(a+b)>=0 vì a,b dương => a+b>=0

=>Th1:(a-b)² =0                              Th2:a+b=0

=> a-b=0                                                a=b=0

=>a=b

Vậy a³+b³>= ab(a+b)

a) Nếu n²+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n² + 2014 = k2 → k² – n² = 2014

=> (k – n)(k + n) = 2014 (*)

Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn

Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) chia hết cho 4

Mà 2014 không chia hết cho 4

Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.

Vậy không có số nguyên dương n nào để số n² + 2014 là số chính phương

b) Với 2 số a, b dương:

Xét: a² + b² – ab ≤ 1

<=> (a + b)(a² + b² – ab) ≤ (a + b) (vì a + b > 0)

<=> a³ + b³ ≤ a + b

<=> (a³ + b³)(a³ + b³) ≤ (a + b)(a⁵ + b⁵) (vì a³ + b³ = a⁵ + b⁵)

<=> a⁶ + 2a³b³ + b⁶ ≤ a⁶ + ab⁵ + a⁵b + b⁶

<=> 2a³b³ ≤ ab⁵ + a⁵b

<=> ab(a⁴ – 2a²b² + b⁴⁾ ≥ 0

<=> ab(a² - b²) ≥ 0 đúng ∀ a, b > 0 .

Vậy: a² + b² ≤ 1 + ab với a, b dương và a³ + b³ = a⁵ + b⁵

\(VT=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

\(=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1-3\)

\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)

C/m BĐT phụ    \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)    (*)      với x, y, z  dương

   Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

             \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)

ÁP dụng  BĐT (*) ta có:

       \(VT=\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-3\)

    \(VT\ge\frac{1}{2}.9-3\)\(=\)\(\frac{3}{2}\)   (đpcm)

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

\(=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ba+bc}+\frac{c^2}{ca+cb}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)

 Gợi ý: Áp dụng BĐT schwarz: \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{1}{3}.\left(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Đến đây làm tiếp không khó!

Áp dụng BĐt bunhiakovsky ta có:

`(\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)})^2<=(a+b)(3a+b+3b+a)`

`<=>(\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)})^2<=4(a+b)^2`

`<=>\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}<=2(a+b)`

`=>(a+b)/(\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)})>=1/2`

Dấu "=" `<=>a=b`

dùng bất đẳng thức svac xơ là ra ngay luôn

Ta có a>b=> a^2=a.a>ab.

a>b=>ab>b.b=b^2

Vậy nếu a>b thì a^2>b^2 với a,bER+