Cho 3 điểm A , B , C cố định với B nằm giữa A và C . Một đường tròn (O) thay đổi đi qua B và C . Vẽ đường kính MN \(\perp\)BC tại D ( M\(\in\)cung nhỏ BC ) . Tia AN cắt (O) tại điểm F . Hai dây BC và MF cắt nhau tại E . CMR :
1, DEFN nội tiếp .
2, AD. AE = AF. AN
3, Đường thẳng MF đi qua một điểm cố định .
Cho 3 điểm ABC theo thứ tự thằng hàng. Một đường tròn O đi qua hai điểm B và C. Từ điểm chính giữa M của cung nỏ BC đường kính MN cắt dây BC tại D. T a n cắt đường tròn tại điểm thứ hai I . Các dây BC,MI cắt nhau tại K
A ) chứng minh rằng khi đường tròn Tâm O thay đổi nhưng vẫn đi qua hai điểm b và c thì đường MI luôn đi qua điểm cố định
B) xác định đường tròn tâm O để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không đi qua tâm (O) cắt đường tròn tại hai điểm A và B .Gọi C là điểm thuộc đường thẳng d sao cho A nằm giữa B và C. Vẽ đường kính PQ vuông góc cói dây AB tại D (P thuộc cung lớn AB). Tia CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I (I khác P) ,AB cắt IQ tại K
1, Cm : tứ giác PDKI nội tiếp
2, Cm: KB.IQ=BQ.BI
3, Cm : IK là đường phân giác trong tam giác AIB và \(\frac{AC}{BC}=\frac{AK}{BK}\)
4, Cho A,B,C cố định còn đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua AB . Cmr đường thẳng IQ luôn đi qua 1 điểm cố định
Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Gọi (O) là đường tròn thay đổi luôn đi qua 2 điểm B, C và có tâm O (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN của đường tròn (O), với M, N là 2 tiếp điểm. AO cắt MN tại H; đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại P và Q (P nằm giữa A và O). Gọi D là trung điểm HQ. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh:
a) P là trung điểm ME.
b) Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
Cho đường tròn (O),một dậy AB và một điểm C nằm ngoài đường tròn và nằm trên tia BA.Tù điểm p chính giữa cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn và cắt dây AB tại D. Tia CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 I.Các day AB và QI cắt nhau tại K.
Giả sử A,B,C cố định , chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A,B thì đường thẳng QI luôn đi qua 1 điểm cố định
Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A thuộc đường tròn. Trên tiếp tuyến tại A lấy 1 điểm K cố định. Một đường thẳng (d) thay đổi đi qua K và không đi qua tâm O cắt (O) tại B và C ( B nằm giữa C và K). Gọi M là trung điểm BC.
1.CM: A,O,M,K thuộc 1 đường tròn
2.Vẽ đường kính AN của đường tròn tâm O, đường thẳng qua A và vuông góc vứi BC cắt MN tại H.CM: tứ giác BHCN là hình bình hành.
3.CM: H là trực tâm tam giác ABC.
4. Khi đường thẳng (d) thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài thì H di động trên đường thẳng nào
Ai làm giúp với =((
a) ΔOBCΔOBC có OB=OC=ROB=OC=R nên ΔOBCΔOBC cân đỉnh OO,
có OMOM là đường trung tuyến nên OMOM cũng là đường cao
⇒OM⊥CB⇒OM⊥CB
⇒ˆOMB=90o⇒OMB^=90o
Tứ giác AOMKAOMK có ˆOMK+ˆOAK=90o+90o=180oOMK^+OAK^=90o+90o=180o
Do đó AOMKAOMK nội tiếp đường tròn đường kính (OK)(OK)
b) Xét ΔAHNΔAHN có:
OM∥AHOM∥AH (vì cùng ⊥BC⊥BC)
OO là trung điểm của ANAN
⇒OM⇒OM là đường trung bình ΔAHNΔAHN
⇒M⇒M là trung điểm HNHN
Tứ giác BHCNBHCN có hai đường chéo CBCB và HNHN cắt nhau tại MM là trung điểm của mỗi đường
⇒BHCN⇒BHCN là hình bình hành.
c) Ta có ΔACNΔACN nội tiếp đường tròn (O)(O) đường kính ANAN
nên ˆACN=90o⇒CN⊥ACACN^=90o⇒CN⊥AC
Tứ giác BHCNBHCN là hình bình hành
⇒BH∥CN⇒BH∥CN mà CN⊥ACCN⊥AC
⇒BH⊥AC⇒BH⊥AC
Lại có AH⊥BCAH⊥BC
ΔABCΔABC có BHBH và CHCH là 2 đường cao cắt nhau tại HH
nên HH là trực tâm ΔABCΔABC
d) MM là trung điểm cạnh BCBC
Lấy điểm O′O′ đối xứng với OO qua MM do B,CB,C cố định suy ra MM cố đinh suy ra O′O′ cố định
Ta có: OM∥AHOM∥AH (vì vùng ⊥BC⊥BC)
⇒OO′∥AH⇒OO′∥AH,
OMOM là đường trung bình ΔAHN⇒OM=12AH⇒AH=2OM=OO′ΔAHN⇒OM=12AH⇒AH=2OM=OO′
Do đó AOO′HAOO′H là hình bình hành
⇒O′H=OA=R⇒O′H=OA=R không đổi
Dựng hình bình hành HO′KTHO′KT ta được KT∥O′HKT∥O′H và có KT=O′HKT=O′H nên TT cố định
TH=O′K=OKTH=O′K=OK
Vậy H∈(T;KO)
Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định thuộc đường tròn. Trên tiếp tuyến với (O) tại A lấy một điểm K cố định. Một đường thẳng d thay đổi đi qua K và không đi qua tâm O cắt (O) tại điểm B và C (B nằm giữa C và K), Gọi M là trung điểm của BC.
1) Chứng minh bốn điểm A, O, M, K cùng thuộc một đường tròn.
2) Vẽ đường kính AN của đường tròn (O). Đường thẳng qua A và vuông góc với BC cắt MN tại H. Chứng minh tứ giác BHCN là hình bình hành.
3) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC
4) Khi đường thẳng d thay đổi và thỏa mãn điều kiện của đề bài, điểm H di động trên đường nào?
Cho đường tròn (O) và điểm A ở ngoài đường tròn đó. Vẽ cát tuyến ABC không đi qua O (B nằm giữa A và C). AD và AE là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) (D, E là hai tiếp điểm và E thuộc cung nhỏ BC). Đường kính MN vuông góc với BC tại H (N thuộc cung nhỏ BC). Tia DO cắt đường tròn (O) tại Q (Q khác D). AM cắt đường tròn (O) tại F (F khác M). Gọi P là giao điểm của AO và DE; I là giao điềm của AC và DE.
0) Tứ giác ADOH nội tiếp được đường tròn.
1) ECQ= DAO.
2) AD^2= AF.AM
3) Ba điểm F, I, N thẳng hàng.
0: góc OHA=góc ODA=90 độ
=>OHDA nội tiếp
1: góc ECQ=góc EDQ=góc EDO=góc DAO
2: Xét ΔADF và ΔAMD có
goc ADF=góc AMD
góc DAF chung
=>ΔADF đồng dạng với ΔAMD
=>AD/AM=AF/AD
=>AD^2=AM*AF
Câu 1: Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC của (O) (B,C: tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE của (O); D nằm giữa D & E; tia AD nằm giữa 2 tia AB và AO.
a) Gọi H là giao điểm của OA và BC. C/m: DEOH nội tiếp
b) Đường thẳng AO cắt (O) tại M và N (M nằm giữa A và O). C/m: EH.AD= MH.AN
Câu 2: Cho nửa đường tròn tâm (O;R) đường kính AB và điểm C trên đường tròn sao cho CA=CB. Gọi M là trung điểm của dây cung AC. Nối BM cắt cung AC tại E; AE và BC kéo dài cắt nhau tại D.
a) C/m: MOCD là hình bình hành
b) Vẽ đường tròn tâm E bán kính EA cắt (O) tại điểm thứ 2 là N. Kẻ EF vuông góc với AC, EF cắt AN tại I, cắt (O) tại điểm thứ 2 là K; EB cắt AN tại H. C/m: BHIK nội tiếp.
Câu 3: Cho (O;R). Từ điểm S nằm ngoài đường tròn sao cho SO=2R. Vẽ tiếp tuyến SA,SB (A,B là tiếp tuyến). Vẽ cát tuyến SDE (D nằm giữa S và E), điểm O nằm trong góc ESB. Từ O kẻ đường vuông góc với OA cắt SB tại M. Gọi I là giao điểm của OS và (O).
a) C/m: MI là tiếp tuyến của (O)
b) Qua D kẻ đường vuông góc với OB cắt AB tại H và EB tại K. C/m: H là trung điểm của DK.
