BIET DAP AN BAI NAY O AU KHONG

a ) AH là phân giác của \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{EAH}=\widehat{FAH}\)

Xét 2 tam giác vuông ΔEAH và ΔFAH có:

AH chung

\(\widehat{EAH}=\widehat{FAH}\) 

=> ΔEAH = ΔFAH (cạnh góc vuông - góc nhọn)

=> EH = FH (đpcm)

b ) \(\widehat{ACB}\) là góc ngoài tại C của ΔMCF

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{CFM}+\widehat{CMF}\)

\(\widehat{AEF}\) là góc ngoài tại E của ΔMBE

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{EMB}+\widehat{ABC}\)

Lại có : \(\widehat{CFM}=\widehat{AEF}\) (do ΔEAH = ΔFAH)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{EMB}+\widehat{ABC}+\widehat{CMF}\)

Mặt khác \(\widehat{EMB}=\widehat{CMF}\)  (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=2.\widehat{EMB}+\widehat{ABC}\)

Hay \(2.\widehat{BME}=\widehat{ACB}-\widehat{ABC}\)( ĐPCM ) 

c, ΔAHE vuông tại H

\(\Rightarrow HE^2+AH^2=AE^2\)

ΔEAH = ΔFAH ⇒ HE = HF => H là trung điểm của FE

\(\Rightarrow HE=\frac{FE}{2}\)

\(\Rightarrow HE^2=\left(\frac{FE}{2}\right)^2=\frac{FE^2}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{FE^2}{4}+AH^2=AE^2\left(đpcm\right)\)

, Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt EF ở D.

CD ║ AB \(\Rightarrow\widehat{CDF}=\widehat{AEH}\) (đồng vị)

mà \(\widehat{AFH\:}=\widehat{AEH}\)(ΔEAH = ΔFAH)

\(\Rightarrow\widehat{CDF}=\widehat{AFH\:}\)

=> ΔCDF cân tại C

=> CD = CF

Dễ dàng chứng minh được ΔMBE = ΔMCD (g.c.g)

⇒ BE = CD mà CD = CF

⇒ BE = CF (đpcm)

a) xét tam giác AEF có

AH là đường cao của EF

AH là đường phân giác của góc A

\(H\in EF\)

=>tam giác AEF cân ở A

=>AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyế của EF

=> H là trung điểm của EF

=>HE=HF=\(\frac{1}{2}EF\)(dpcm)

b)ta có \(\widehat{BME}=\widehat{CMF}\)(đối đỉnh )

mà \(\widehat{ACB}=\widehat{F}+\widehat{CMF}\)( t/c góc ngoài của tam giác )

ta có \(\widehat{F}=\widehat{AEF}\)(tam giác AEF cân ) mà\(\widehat{AEF}=\widehat{B}+\widehat{BME}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ACB}=\widehat{B}+\widehat{BME}+\widehat{CMF}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ACB}=\widehat{B}+2\widehat{BME}\)

=>\(\widehat{2BME}=\widehat{ACB}-\widehat{B}\)

c) tam giác AHE có 

góc AHE =90 độ => \(HE^2+AH^2+AE^2\left(pi-ta-go\right)\)

thay \(HE=\frac{1}{2}EF\)ta được

\(\left(\frac{1}{2}EF\right)^2+AH^2=AE^2\)

=>\(\frac{EF^2}{4}+AH^2=AE^2\left(dpcm\right)\)

d) kẻ BI//AC =>\(\widehat{BIE}=\widehat{AFH},\widehat{AFH}=90^0-\frac{1}{2}\widehat{A}\)\(\Leftrightarrow\widehat{BIE}=90^0-\frac{1}{2}\widehat{A}\)(1)

mà tam giác AHE zuông tại H

=>\(\widehat{AHE}=90^0-\frac{1}{2}\widehat{A}\left(2\right)\)

từ 1 zà 2 =>\(\widehat{BIE}=\widehat{AHE}=>\Delta BEI\)cân tại B

=> BE=BI(3)

xét tam giác MFC có \(BI//FC;B\in MC;I\in MF\)

=>\(\frac{BI}{FC}=\frac{MB}{MC}=1\)

=>\(BI=FC\left(4\right)\)

từ 3 zfa 4

=> BE=CF (dpcm