\(\frac{4ab}{1+ab}\le\frac{4ab}{2\sqrt{ab}}=2\sqrt{ab}\le a+b\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=1 

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

<=>  \(a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

<=>  \(a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

<=>  \(a^2-2ab+b^2\ge0\)

<=>  \(\left(a-b\right)^2\ge0\)  luôn đúng

Dấu "=" xảy ra <=> a=b

Mình không biết làm.

Bài này `a=b=2=>ab=a+b` nhé.=>Phải là `ab>=a+b`

`ab>=a+b`

`<=>2ab>=2a+2b`

`<=>ab-2a+ab-2b>=0`

`<=>a(b-2)+b(a-2)>=0`

Mà `a>=2,b>=2`

`=>đpcm`

Ta co \(a^4+b^4+2\ge2a^2b^2+2\)\(=2\left(a^2b^2+1\right)\ge2\cdot2ab\)\(=4ab\)

Dau "=" xay ra khi va chi khi a=b

3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương. 
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết 
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương 

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0 
mà abc > 0 => bc > 0 
Nếu b < 0, c < 0: 
=> b + c < 0 
Từ gt: a + b + c < 0 
=> b + c > - a 
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0) 
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac 
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2 
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2) 
ta có: 
b^2 + c^2 >= 0 
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0 
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0 
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý) 
trái gt: ab + bc + ca > 0 

Vậy b > 0 và c >0 
=> cả 3 số a, b, c > 0

1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)

                   \(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)

                    \(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)

Mà abc=1

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)     

sai rồi. sửa a+b=a+1, b+c=b+1, a+c=c+1 nha, thông cảm, nhìn sai đề

Xét hiệu :

H = \(\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{2.\left(a^2+b^2\right)}{4}-\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(=\frac{2a^2+2b^2-a^2-b^2-2ab}{4}=\frac{\left(a-b\right)^2}{2^2}=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\ge0\)\(\forall\)a,b

Dấu " = " xảy ra khi \(\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)

Vậy ...