Đặt \(d=ƯC\left(2n+1;2n^2+2n\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\2n^2+2n⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2n+1\right)\left(2n+1\right)-2\left(2n^2+2n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow2n+1\) và \(2n\left(n+1\right)\) nguyên tố cùng nhau hay phân số đã cho tối giản với mọi n nguyên

Ai kết bạn vs mình ko mình hết lượt rồi

Gọi d là ước số chung lớn nhất của 2n+1 và 6n+5

2n+1 chia hết cho d => 3(2n+1) chia hết cho d => 6n+3 chia hết cho d

Mà 6n+5 chia hết cho d

=> (6n+5) - (6n+3) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=> d thuộc tập 1; 2

Mà n nguyên => 2n+1 lẻ => d không thể là 2

=> d = 1

=> 2n+1 và 6n+5 nguyên tố cùng nhau, hay phân số 2n+1 / 6n+5 luôn tối giản

Gọi ƯCLN(2n+1;6n+5) là d \(d\inℕ^∗\))

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\6n+5⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+3⋮d\\6n+5⋮d\end{cases}\Rightarrow}6n+5-6n-3⋮d\Rightarrow2⋮d}\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

=> Phân số \(\frac{2n+1}{6n+5}\)không là phân số tối giản
Ps: Bạn xem lại đề nhé!

h.vn/hoi-dap/question/43282.html

tham khảo nha

hok tốt

Xét$12n+1=12n+24-23=12\left(n+2\right)-23$

⇒12�+12�(�+2)=12(�+2)−232�(�+2)=12(�+2)2�(�+2)−232�(�+2)=6�−232�(�+2)⇒2n(n+2)12n+1​=2n(n+2)12(n+2)−23​=2n(n+2)12(n+2)​−2n(n+2)23​=n6​−2n(n+2)23​

Xét232�(�+2)2n(n+2)23​ta có:

$2n\left(n+2\right)⋮2$

=> $2n\left(n+2\right)$là số chẵn

mà 23 là số lẻ

⇒232�(�+2)⇒2n(n+2)23​Tối giản

⇒6�−232�(�+2)⇒n6​−2n(n+2)23​tối giản

Vậy 12�+12�(�+2)2n(n+2)12n+1​Tối giản (ĐPCM)

Ta chứng minh \(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\)  (1)  

với mọi n \(\in\)N* , bằng phương pháp quy nạp 

Với n = 1, ta có \(2^2=4=\frac{2.1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{3}\)

=> (1) đúng khi n = 1 

Giả sử đã có (1) đúng khi n = k , k\(\in\)N* , tức là giả sử đã có : 

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}\)

Ta chứng minh (1) đúng khi n = k + 1 , tức là ta sẽ chứng minh 

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)

=> Từ giả thiết quy nạp ta có : 

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}+\left(2k+2\right)^2\)

                                                                    \(=\frac{2\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{3}\)

                                                                    \(=\frac{2\left(k+1\right)\left[2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)\right]}{3}\)

                                                                    \(=\frac{2\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)

Từ các chứng minh trên , suy ra (1) đúng với mọi n \(\in\)N*                                             

ai quan tam lam chi

\(\dfrac{2n+1}{2n\left(n+1\right)}=\dfrac{2n+1}{2n^2+2n}\)

Gọi \(d=ƯCLN\left(2n+1;2n^2+2n\right)\left(d\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\2n^2+2n⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n^2+n⋮d\\2n+1⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow n⋮d\)

Mà \(2n+1⋮d\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n⋮d\\2n+1⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

\(\Leftrightarrow d=1\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\left(2n+1;2n\left(n+1\right)\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\) Phân số \(\dfrac{2n+1}{2n\left(n+1\right)}\) là phân số tối giản