Cho a,b,c ≠ 0 và ba số x,y,z thỏa mãn \(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\).Tính x2015+y2015+z2015
Cho a, b, x, y, z là các số khác 0 thỏa mãn: \(\dfrac{x^2-yz}{a}=\dfrac{y^2-zx}{b}=\dfrac{z^2-xy}{c}\ne0\). CMR: \(\dfrac{a^2-bc}{x}=\dfrac{b^2-ca}{y}=\dfrac{c^2-ab}{z}\)
Cho a,b,x,y,z là các số khác 0 thỏa mãn: \(\dfrac{x^2-yz}{a}=\dfrac{y^2-zx}{b}=\dfrac{z^2-xy}{c}\ne0\). Tìm x, y, z biết x+y+z=2010 và \(a^2-bc=0\)
Cho a,b,x,y,z là các số khác 0 thỏa mãn: \(\dfrac{x^2-yz}{a}=\dfrac{y^2-zx}{b}=\dfrac{z^2-xy}{c}\ne0\). Tìm x, y, z biết x+y+z=2010 và \(a^2-bc=0\)
Ta có \(\dfrac{\left(x^2-yz\right)^2}{a^2}=\dfrac{\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)}{bc}\) mà a2 = bc nên:
\(\left(x^2-yz\right)^2=\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)\).
\(\Leftrightarrow x^4+y^2z^2-2x^2yz=y^2z^2+x^2yz-xy^3-xz^3\)
\(\Leftrightarrow x^4+xy^3+xz^3-3x^2yz=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^3+y^3+z^3=3xyz\end{matrix}\right.\).
Rõ ràng nếu \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) thì \(x=y=z\) (tính chất quen thuộc). Do đó \(\dfrac{x^2-yz}{a}=0\) (vô lí).
Do đó x = 0.
Kết hợp với x + y + z = 2010 thì y + z = 2010.
Rõ ràng với mọi x, y, z thỏa mãn y + z = 2010 và x = 0 thì ta thấy thỏa mãn đk bài toán.
Vậy...
cho \(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0\) và \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\), tính A \(=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\)
Từ giả thiết : \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2.\left(\dfrac{xy}{ab}+\dfrac{yz}{bc}+\dfrac{zx}{ca}\right)=1\)
\(\Rightarrow A+2.\left(\dfrac{xyc+yza+xzb}{abc}\right)=1\left(1\right)\)
Mà theo gt : \(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{ayz+bxz+cxy}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow ayz+bzx+cxy=0\)
Do đó : \(\left(1\right)=A=1\)
a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính :
T = \(x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}+t^{2011}\)
Biết x,y,z,t thoả mãn \(\dfrac{x^{2010}+y^{2010}+z^{2010}+t^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}=\dfrac{x^{2010}}{a^2}+\dfrac{y^{2010}}{b^2}+\dfrac{z^{2010}}{c^2}+\dfrac{t^{2010}}{d^2}\)
b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thoả mãn điều kiện
M=a+b=c+d=e+f
Nếu câu b thiếu j thì các bạn cứ bỏ qua nha
Cho: \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=0\) và \(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=2\). Tính giá trị của biểu thức: \(\dfrac{a^2}{x^2}+\dfrac{b^2}{y^2}+\dfrac{c^2}{z^2}\)
Bài này dễ thôi:vv
Theo đề ta có: \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=0\Leftrightarrow\dfrac{xbc+yac+zab}{abc}=0\Leftrightarrow xbc+yac+zab=0\)
Lại có:\(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=2\Rightarrow\left(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\right)^2=4\)
=>\(\dfrac{a^2}{x^2}+\dfrac{b^2}{y^2}+\dfrac{c^2}{z^2}+2\left(\dfrac{ab}{xy}+\dfrac{bc}{yz}+\dfrac{ca}{xz}\right)=4\)
=>\(\dfrac{a^2}{x^2}+\dfrac{b^2}{y^2}+\dfrac{c^2}{z^2}+2\left(\dfrac{abz+bcx+cay}{xyz}\right)=4\)
=>\(\dfrac{a^2}{x^2}+\dfrac{b^2}{y^2}+\dfrac{c^2}{z^2}+2.0=4\Rightarrow\dfrac{a^2}{x^2}+\dfrac{b^2}{y^2}+\dfrac{c^2}{z^2}=2\)
Vậy...
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=5\) và x - y + z = 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{x+y-2}{z+2}\) bằng
A. \(\dfrac{1}{2}\) B. \(0\) C. \(\dfrac{-36}{23}\) D. \(\dfrac{-13}{4}\)
a) Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x2+y2+z2=3, tìm giá trị nhỏ nhất của F=\(\dfrac{x^2+1}{z+2}\)+\(\dfrac{y^2+1}{x+2}\)+\(\dfrac{z^2+1}{y+2}\)
b) Với a,b,c > 0 thỏa mãn ab+bc+ca=3, chứng minh rằng
\(\sqrt{\dfrac{a}{a+3}}\) +\(\sqrt{\dfrac{b}{b+3}}\)+\(\sqrt{\dfrac{c}{c+3}}\)\(\le\)\(\dfrac{3}{2}\)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm GTLN của
\(P=\dfrac{x}{\left(2x+y+z\right)^2}+\dfrac{y}{\left(2y+x+z\right)^2}+\dfrac{z}{\left(2z+y+x\right)^2}\)
Chắc đề là \(x+y+z=3\)
Ta có:
\(\left(2x+y+z\right)^2=\left(x+y+x+z\right)^2\ge4\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{x}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{4\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{z}{4\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)}{4\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\dfrac{xy+yz+zx}{2\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Mặt khác:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)-xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\sqrt[3]{xyz}.\sqrt[3]{xy.yz.zx}\)
\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\dfrac{1}{3}.\left(x+y+z\right).\dfrac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(zy+yz+zx\right)=\dfrac{8}{3}\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{xy+yz+zx}{2.\dfrac{8}{3}\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{3}{16}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)