Tìm tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình
|\(\)\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}- \frac{ 1}{10} | =\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{100}\)
@Akai Haruma
1. Giải phương trình: \(\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{1-x}+1\right)=1\)=1
2. Tìm nghiệm nguyên dương của: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{6xy}=\frac{1}{6}\)
2.
Nhân hai vế của phương trình với 6xy:
6y+6x+1=xy6y+6x+1=xy
Đưa về phương trình ước số:
x(y−6)−6(y−6)=37x(y−6)−6(y−6)=37
⇔(x−6)(y−6)=37⇔(x−6)(y−6)=37
Do vai trò bình đẳng của xx và yy, giả sử x⩾y⩾1x⩾y⩾1, thế thì x−6⩾y−6⩾−5x−6⩾y−6⩾−5.
Chỉ có một trường hợp:
{−6=37y−6=1⇔{=43y=7{−6=37y−6=1⇔{=43y=7
Đáp số: (43;7),(7;43)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
\(\sqrt{x+\frac{1}{2}\sqrt{x+\frac{1}{4}}}+x=y\)
a) giải hệ phương trình
\(\hept{\begin{cases}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{9}{2}\\xy+\frac{1}{xy}=\frac{5}{2}\end{cases}}\)
b) giải pt \(\sqrt{2x+1}-\sqrt{3x}=x-1\)
c) tìm nghiệm nguyên dương của pt x3y+xy3-3x2-3y2=17
\(\sqrt{2x+1}-\sqrt{3x}=x-1\)
ĐK: \(x\ge0\)
\(\sqrt{2x+1}-\sqrt{3x}=3x-\left(2x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+1}-\sqrt{3x}=\left(\sqrt{3x}-\sqrt{2x+1}\right)\left(\sqrt{3x}+\sqrt{2x+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{3x}\right)\left(1+\sqrt{3x}+\sqrt{2x+1}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+1}=\sqrt{3x}\Rightarrow x=1\left(tm\right)\)
c) \(x^3y+xy^3-3x^2-3y^2=17\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2\right)-3\left(x^2+y^2\right)=17\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(xy-3\right)=17\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right),\left(xy-3\right)\inƯ\left(17\right)\)
Do \(x^2+y^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2\in\left\{1;17\right\}\)
TH1: \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=1\\xy-3=17\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{400}{y^2}+y^2=1\\x=\frac{20}{y}\end{cases}}\) (vô nghiệm)
TH2: \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=17\\xy-3=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{16}{y^2}+y^2=17\\x=\frac{4}{y}\end{cases}}\)
Ta có bảng:
y2 | 16 | 16 | 1 | 1 |
y | 4 | -4 | 1 | -1 |
x | 1 | -1 | 4 | -4 |
Vậy các cặp số nguyên thỏa mãn là (x;y) = (1;4) ; (-1;-4) ; (4;1) ; (-4;-1).
Bài 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: x2 - 2xy - x + y + 3 = 0
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: ( y2+1 )( 2x2+x+1) = x+5
Bài 3: Cho các số thực dương a,b thỏa mãn a + b = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = \(\frac{a}{\sqrt{4-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{4-b^2}}\)
1. Ta có: \(x^2-2xy-x+y+3=0\)
<=> \(x^2-2xy-2.x.\frac{1}{2}+2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+y^2-y^2-\frac{1}{4}+3=0\)
<=> \(\left(x-y-\frac{1}{2}\right)^2-y^2=-\frac{11}{4}\)
<=> \(\left(x-2y-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=-\frac{11}{4}\)
<=> \(\left(2x-4y-1\right)\left(2x-1\right)=-11\)
Th1: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=11\\2x-1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-3\end{cases}}\)
Th2: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-11\\2x-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)
Th3: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=1\\2x-1=-11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-5\\y=-3\end{cases}}\)
Th4: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-1\\2x-1=11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=3\end{cases}}\)
Kết luận:...
2. \(y^2+1\ge1>0;2x^2+x+1>0\) với mọi x; y
=> x + 5 > 0
=> \(y^2+1=\frac{x+5}{2x^2+x+1}\ge1\)
<=> \(x+5\ge2x^2+x+1\)
<=> \(x^2\le2\)
Vì x nguyên => x = 0 ; x = 1; x = -1
Với x = 0 ta có: \(y^2+1=5\Leftrightarrow y=\pm2\)
Với x = 1 ta có: \(y^2+1=\frac{3}{2}\)loại vì y nguyên
Với x = -1 ta có: \(y^2+1=2\Leftrightarrow y=\pm1\)
Vậy Phương trình có 4 nghiệm:...
Tìm nghiệm nguyên của các phương trình :
a, \(\sqrt{x}+\sqrt{x+5}=y\)
b, \(x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}=y}\)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{7}\)
tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\)
Ta có\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\)(x;y > 0)
=> \(\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{3}\)
=> 3(x + y) = xy
=> 3x + 3y = xy
=> xy - 3x - 3y = 0
=> x(y - 3) - 3y + 9 = 9
=> x(y - 3) - 3(y - 3) = 9
=> (x - 3)(y - 3) = 9
Vì x;y > 0
=> x - 3 > -3 ; y - 3 > -3 (1)
mà 9 = 1.9 = (-1).(-9) = 3.3 = (-3).(-3) (2)
Từ (1)(2)
=> x - 3 = 1 ; y - 3 = 9
=> x = 4 ; y = 12
hoặc x = 12 ; y = 4
Vậy các cặp (x ; y) thỏa mãn là (4;12);(12;4)
Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}=\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)=xy\)
\(\Leftrightarrow3x+3y-xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y-3\right)=9\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y-3\right)=9=3.3=\left(-3\right).\left(-3\right)=1.9=9.1=\left(-1\right)\left(-9\right)=\left(-9\right)\left(-1\right)\)
\(th1\hept{\begin{cases}x-3=3\Leftrightarrow x=6\\y-3=3\Leftrightarrow y=6\end{cases}}\left(tm\right)\)
\(th2\hept{\begin{cases}x-3=-3\Leftrightarrow x=0\\y-3=-3\Leftrightarrow y=0\end{cases}}\left(ktm\right)\)
\(th3\hept{\begin{cases}x-3=1\Leftrightarrow x=4\\y-3=9\Leftrightarrow y=12\end{cases}}\left(tm\right)\)
\(th4\hept{\begin{cases}x-3=9\Leftrightarrow x=12\\y-3=1\Leftrightarrow y=4\end{cases}}\left(tm\right)\)
thử các cặp còn lại rồi kl
a) Tìm tất cả nghiệm nguyên dương của bất phương trình : \(11x-7< 8x+7\)
b) Tìm tất cả nghiệm nguyên âm của bất phương trình \(\frac{x^2+2x+8}{2}-\frac{x^2-x+1}{6}>\frac{x^2-x+1}{3}-\frac{x+1}{4}\)
c)Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình : \(2\left(3-x\right)-1,5\left(x-4\right)< 3-x\)
a)11x-7<8x+7
<-->11x-8x<7+7
<-->3x<14
<--->x<14/3 mà x nguyên dương
---->x \(\in\){0;1;2;3;4}
b)x^2+2x+8/2-x^2-x+1>x^2-x+1/3-x+1/4
<-->6x^2+12x+48-2x^2+2x-2>4x^2-4x+4-3x-3(bo mau)
<--->6x^2+12x-2x^2+2x-4x^2+4x+3x>4-3+2-48
<--->21x>-45
--->x>-45/21=-15/7 mà x nguyên âm
----->x \(\in\){-1;-2}
c)2(3-x)-1,5(x-4)<3-x
<--->6-2x-1,5x+6<3-x
<--->6+6-3<2x+1,5x-x
<--->9<2,5x
<--->3,6<x mà x la so nguyen nhỏ nhất
--->x=4