Dễ ý

Nếu a,b,c > 0

--- Chắc chắn là (a/a+b) + (b/b+c) + (c/c+a) khác 0 và khong phải là số nguyên rồi

ta cần chứng minh nó lớn hơn 1 và nhỏ hơn 2

Do a;b;c và d là các số nguyên dương => 
a + b + c < a + b + c + d 
a + b + d < a + b + c + d 
a + c + d < a + b + c + d 
b + c + d < a + b + c + d 
=> a/(a + b + c) > a/(a + b + c + d) (1) 
b/(a + b + d) > b/(a + b + c + d) (2) 
c/(b + c + d) > c/(a + b + c + d) (3) 
d/(a + c + d) > d/(a + b + c + d) (4) 
Từ (1);(2);(3) và (4) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > a/(a + b + c + d) + b/(a + b + c + d) + c/(a + b + c + d) + d/(a + b + c + d) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > (a + b + c + d)/(a + b + c + d) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > 1 
=> B > 1 (*) 

Ta có: (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) 
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - (a² + ab + ac + ad) 
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - a² - ab - ac - ad 
= bd + cd 
Do a;b;c và d là số nguyên dương 
=> bd + cd > 0 
=> (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) > 0 
=> (a + b + c)(a + d) > a(a + b + c + d) 
=> (a + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) (5) 
Chứng minh tương tự ta được: 
(b + c)/(a + b + c + d) > b/(a + b + d) (6) 
(a + c)/(a + b + c + d) > c/(b + c + d) (7) 
(b + d)/(a + b + c + d) > d/(a + c + d) (8) 
Cộng vế với vế của (5);(6);(7) và (8) ta được: 
(a + d)/(a + b + c + d) + (b + c)/(a + b + c + d) + (a + c)/(a + b + c + d) + (b + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) 
=> (a + d + b + c + a + c + b + d)/(a + b + c + d) > B 
=> 2(a + b + c + d)/(a + b + c + d) > B 
=> 2 > B (*)(*) 
Từ (*) và (*)(*) 
=> 1 < B < 2 
=> B không phải là số nguyên

Ta có: a/a+b <a/a+b+c    (1)

           b/b+c <b/a+b+c     (2) 

           c/c+a <c/a+b+c      (3)

Từ (1),(2),(3)  =>    a/a+b    +   b/b+c   +    c/c+a    >     a/a+b+c  +   b/a+b+c   +    c/a+b+c

                                                                                       = a+b+c/a+b+c

                                                                                       =1

VẬY : M>1

Ta có :

              a/a+b    <   a+c/a+b+c     (1)

              b/b+c    <   b+a/a+b+c     (2)

              c/c+a     <   c+b/a+b+c     (3)

Từ (1),(2),(3) =>  a/a+b    +   b/b+c   +    c/c+a    <     a+c/a+b+c    +      b+a/a+b+c      +    c+a/a+b+c 

                                                                                   =     2.(a+b+c)/a+b+c

                                                                                   =     2

=>          1<M<2          

=>          M không phải là số nguyên

M=a/a+b+b/b+c+c/c+a vs a,b,c lớn hơn 0

M=1+b+1+c+1+a=3+a,b,c

M là số nguyên

Ta có a/b+c+b/a+c+c/a+b > a/a+b+c+b/b+c+a+c/b+c+a=a+b+c/a+b+c=1

=>M>1

Lại có M=(1-b/a+b)+(1- c/b+c)+(1-c/a+c)<3-(b/a+b+c+c/b+c+a+a/c+a+b)=3-1=2

=>M < 2

 do đo 1<M<2=>đpcm

Bn vào đây:http://olm.vn/hoi-dap/question/431454.html

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên ta có:

M >\(\frac{a+b+c}{a+b+c}\)

=>M>1 (1)

Aps dụng t/c (a;b>1) =>\(\frac{a}{b}