Question

Cho A,B,C >0 chứng minh rằng M= A/A+B + B/B+C +C/C+A không là số nguyên.

Answer 1

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{A}{A+B}>\dfrac{A}{A+B+C}\\\dfrac{B}{B+C}>\dfrac{B}{A+B+C}\\\dfrac{C}{A+C}>\dfrac{C}{A+B+C}\end{matrix}\right.\) cộng theo vế ta có: \(M>1\)

Vì \(A;B;C>0\) nên dễ thấy: \(\dfrac{A}{A+B};\dfrac{B}{B+C};\dfrac{C}{C+A}< 1\)

Áp dụng bất đẳng thức: \(\dfrac{p}{q}< \dfrac{p+m}{q+m}\) với \(\dfrac{q}{p}< 1\)

áp dụng: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{A}{A+B}< \dfrac{A+C}{A+B+C}\\\dfrac{B}{B+C}< \dfrac{A+B}{A+B+C}\\\dfrac{C}{A+C}< \dfrac{B+C}{A+B+C}\end{matrix}\right.\) Cộng theo vế ta có: \(M< 2\)

Vì \(1< M< 2\) nên \(M\notin Z\)