Min \(M=x^2+y^2-xy-x+y +1\)
1. Cho x2 +y2 =1. Tìm min A= (3-x) (3-y).
2. cho x,y >0, 2xy-4= x+y. Tìm min P=xy+ 1/ x2 +1/ y^2.
3.Cho x>=3, y>= 3. Tìm min A= 21*(x+1/y) +3*(y+1/x).
4. Cho x,y >0, x^2+ y^2= 1.Tìm min x+y+1/x+1/y.
5. Cho a,b>0, a+b+3ab=1. Tìm min A= 6ab/ (a+b) -a^2-b^2
Cho x,y là các số dương thỏa mãn xy=1.tìm Min của M biết M=(x+y+1)(x^2+y^2)+4/(x+y)
1) Cho x,y>0 và x+y=< 1 Tìm min A = \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}\)
2) Cho x >= 3y và x;y > 0 Tìm min A = \(\frac{x^2+y^2}{xy}\)
3) Cho x >= 4y và x;y > 0 Tìm min A = xy/(x^2 +y^2)
\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)
Dấu "=" <=> x= y = 1/2
\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)
\(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" <=> x = 3y
cho x,y dương thỏa \(\left(x+y-1\right)^2=xy\)
tìm MIN \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}\)
ta có : \(\left(x+y-1\right)^2=xy\Leftrightarrow x^2+y^2+xy-2x-2y+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+xy-1=0\)
\(0=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+xy-1\ge xy-1\)
\(\Leftrightarrow xy\le1\)
mà \(xy=\left(x+y-1\right)^2\le1\Leftrightarrow-1\le x+y-1\le1\)
\(\Leftrightarrow0\le x+y\le2\).
\(VT=\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy dạng phân thức:
\(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\dfrac{4}{4}=1\)(*)
vì \(xy\le1\)nên \(\sqrt{xy}\ge xy\)( đúng vì nó tương đương \(\sqrt{xy}\left(1-\sqrt{xy}\right)\ge0\))
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}\ge\dfrac{1}{2\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{2}\)( vì \(x+y\le2\))
Áp dụng bất đẳng thức cauchy: \(\dfrac{1}{2\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{2\sqrt{xy}}.\dfrac{\sqrt{xy}}{2}}=1\)(**)
từ (*) và (**) ta có \(VT\ge1+1=2\)
đẳng thức xảy ra khi x=y=1
Tìm min P = x^2 - xy + y^2 / x^2+xy+y^2
a,P=\(x^2-xy+y^2\)
=\(\left(x-y\right)^2\)
Vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\)vs mọi x
Vậy Min của P =0
b,P= \(x^2+xy+y^2\)
=\(\left(x+y\right)^2\)
Vì \(\left(x+y\right)^2\ge0\)vs mọi x
Vậy Min của P=0
Tìm Min M=\(x^2+y^2-xy-x+y+1\)
4) Cho x,y > 0 ; x + y = 1 . Tìm min M = \(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}\)
\(M=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{1}{xy} \\=(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy})+\dfrac{1}{2xy}\\ \)
\(\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{1}{2.\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2}=\dfrac{4}{1^2}+\dfrac{1}{2.\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=6\)
Dấu "=" xảy ra<=>x=y=0,5.
\(M=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}}=6\)
\(\Rightarrow M_{min}=6\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z=1
Tìm Min A= \(\frac{\sqrt{z+xy}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}\)
\(A=\frac{\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{z^2+xy+yz+zx}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}\)
\(A=\frac{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}\ge\frac{\sqrt{\left(z+\sqrt{xy}\right)^2}+\sqrt{\left(x+y\right)^2}}{1+\sqrt{xy}}\)
\(A\ge\frac{z+\sqrt{xy}+x+y}{1+\sqrt{xy}}=\frac{1+\sqrt{xy}}{1+\sqrt{xy}}=1\)
\(A_{min}=1\) khi \(x=y\)
1. cho x^2+y^2=1. tìm Min Max x+y
2. cho xy=1 x>y. tìm min (x^2+y^2)/(x-y)