Cm a2 +4b2+4c2≥ 4ab- 4ac +8bc ∀ a,b,c ∈ R
CMR : a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc
Nhầm , sorry bạn nha , mk làm lại nè
a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc
⇔ a2 - 4ab + 4b2 + 4ac - 8bc + 4c2 ≥ 0
⇔ ( a - 2b)2 + 4c( a - 2b) + 4c2 ≥ 0
⇔ ( a - 2b + 2c)2 ≥ 0 ( luôn đúng ∀abc)
\(a^2+4b^2+4c^2\ge4ab-4ac+8bc\\ \Leftrightarrow a^2+4b^2+4c^2-4ab+4ac-8bc\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-2b+2c\right)^2\ge0\)
Luôn đúng với \(\forall x\in R\)
a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc
⇔ a2 - 4ab + 4b2 - 4ac + 8bc + 4c2 ≥ 0
⇔ ( a - 2b)2 - 4c( a - 2b) + 4c2 ≥ 0
⇔ ( a - 2b - 2c)2 ≥ 0 ( luôn đúng ∀a,b,c )
Với a<2b<0, rút gọn \(\dfrac{1}{a-2b}\)√b2(a2-4ab+4b2)
\(\dfrac{1}{a-2b}.\sqrt{b^2\left(a^2-4ab+4b^2\right)}=\dfrac{1}{a-2b}.b.\left|a-2b\right|=\dfrac{1}{a-2b}.b.\left(2b-a\right)=-b\)
\(\dfrac{1}{a-2b}\cdot\sqrt{b^2\cdot\left(a^2-4ab+b^2\right)}\)
\(=\dfrac{1\cdot\left(a-2b\right)}{a-2b}\cdot b\)
=b
cmr
a : a^2+b^2+c^2+d^2>hoặc=ab+ac+ad
b: a^2+4b^2+4c^2> hoặc = 4ab-4ac+8bc
Bài 1: Cho x + y = -3 và x.y = -28. Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n.
a) x^2 + y^2 b) x^3 + y^3 c) x^4 + y^4
Bài 2: Chứng minh rằng:
a) a^2 + b^2 + c^2 +d^2 >_ ab+ac+ad
b) a^2 + 4b^2 +4c^2 >_ 4ab - 4ac + 8bc
Bài 3: Chứng minh rằng:
Nếu x + y + z = 0 thì x^3 + y^3 + z^ 3 = 3xyz
Bài 4: Chứng minh : a^2 + 4b^2 + 4c^2 >_ 4ab - 4ac + 8bc
( Viết về dạng bình phương của một tổng)
GIÚP MÌNH VỚI Ạ!!!!!!!!!!!!
Bài 1 :
a) \(x^2+y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2-2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=\left(-3\right)^2-2.\left(-28\right)=65\)
b) \(x^3+y^3\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2-3xy\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]=\left(-3\right)\left[\left(-3\right)^2-3.\left(-28\right)\right]=-279\)
c) \(x^4+y^4\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4-4x^3y-4xy^3-6x^2y^2=\left(-3\right)^4-4\left(-28\right).65-6\left(-28\right)^2=2657\)
Bài 3:
Có: \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3\)
=> \(x^3+y^3+z^3=\left(-z\right)^3-3xy.-z+z^3\)
=> \(x^3+y^3+z^3=-z^3+z^3+3xyz=3xyz\)
=> TA CÓ ĐPCM.
VẬY \(x+y+z=0\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Bài 2 :
a) Giả sử \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+ac+ad\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2-ab-ac-ad\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2-4ab-4ac-4ad\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
\(\RightarrowĐPCM\)
b) Sửa đề : \(a^2+4b^2+4c^2\ge2ab-2ac+4bc\)
Ta có : \(\left(a+2c\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+4c^2\ge-4ac\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cô - si ta có :
\(\hept{\begin{cases}a^2+4b^2\ge4ab\left(2\right)\\4b^2+4c^2\ge8bc\left(3\right)\end{cases}}\)
(1) + (2) + (3)
\(\Leftrightarrow2a^2+8b^2+8c^2\ge4ab-4ac+8bc\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+4b^2+4c^2\right)\ge4\left(ab-ac+2bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+4b^2+4c^2\ge2ab-2ac+4bc\)
1.Tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn 4n4+1 là số nguyên tố
2.Cho 4 số nguyên dương a,b,c,d thoả mãn điều kiện ad= b2-bc+c2.Chứng minh rằng a2 +4b2+4c2+16d2 là hợp số
Ta có
n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 – 4n2
= (n2 + 2 )2 – (2n)2
= (n2 + 2 – 2n )(n2 + 2 + 2n)
Vì n4 + 4 là số nguyên tố nên n2 + 2 – 2n = 1 hoặc n2 + 2 + 2n = 1
Mà n2 + 2 + 2n > 1 vậy n2 + 2 – 2n = 1 suy ra n = 1
Thử lại : n = 1 thì 14 + 4 = 5 là số nguyên tố
Vậy với n = 1 thì n4 + 4 là số nguyên tố.
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) a2+4ac+4c2-16
b) 12y-9x2+36-3x2y
Mn giúp e vs ạ
a) \(=\left(a+2c\right)^2-16=\left(a+2c-4\right)\left(a+2c+4\right)\)
b) \(=3y\left(4-x^2\right)+9\left(4-x^2\right)=3\left(4-x^2\right)\left(y+3\right)\)
\(=3\left(2-x\right)\left(2+x\right)\left(y+3\right)\)
a, a2 + 4ac + 4c2 - 16 = (a + 2c)2 - 42 = (a + 2c -4).(a + 2c +4)
b, 12y - 9x2 + 36 - 3x2y = (12y + 36) - (3x2y + 9x2) = 12.(y+ 3) - 3x2.(y + 3) =(y + 3).(12 - 3x2)
Cho a,b,c thuộc R . CM Bất đẳng thức sau và cho biết dấu = xảy ra khi nào?
g) a2+b2+c2-4a-6b-2c+14 ≥0
h) a 2+4b2+3c2 +14> 2a+12b+6c
Mn làm giúp dùm e bài này với ạ.
a: \(\Leftrightarrow a^2-4a+4+b^2-6b+9+c^2-2c+1>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-3\right)^2+\left(c-1\right)^2>=0\)
Dấu '=' xảy ra (a,b,c)=(2;3;1)
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng:
4a2+4b2+4c2+abc ≥ 3
giúp mk với ạ, mk cần gấp
Áp dụng BĐT \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow9abc+18\left(a+b+c\right)\ge12\left(ab+bc+ca\right)+27\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
Do đó:
\(P=4a^2+4b^2+4c^2+abc\ge4a^2+4b^2+4c^2+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{10}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{10}{9}\left(a+b+c\right)^2-3=13\)
Đề bài bạn viết thiếu số 1 bên vế phải rồi
Lời giải:
Áp dụng BĐT Schur:
$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(3-2a)(3-2b)(3-2c)$
$\Leftrightarrow 9abc\geq 12(ab+bc+ac)-27$
$\Leftrightarrow abc\geq \frac{4}{3}(ab+bc+ac)-3$
Do đó:
$4(a^2+b^2+c^2)+abc\geq 4(a^2+b^2+c^2)+\frac{4}{3}(ab+bc+ac)-3$
$=\frac{10}{3}(a^2+b^2+c^2)+\frac{2}{3}(a+b+c)^2-3$
$\geq \frac{10}{9}(a+b+c)^2+\frac{2}{3}(a+b+c)^2-3=13$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài đúng phải là $4a^2+4b^2+4c^2+abc\geq 13$ nhé bạn.
CM
\(a^2+4b^2+4c^2\ge4ab-4ac+8bc\)
Xét hiệu (a^2 + 4b^2 + 4c^2)-( 4ab-4ac+8bc )
= (a^2-4ab+4b^2) + 4c^2 + (4ac-8bc)
=(a-2b)^2 + 4c^2 + 4c(a-2b)
=(a-2b+2c)^2 >=0
Vậy a^2 + 4b^2 + 4c^2 >= 4ab-4ac+8bc
hok tốt