2a + 5b = 19

a= 2 vì 2a=2.a=2.2=4

b= 3 vì  5b=5.b=5.3=15

2a+5b=19

=>2a hoặc 5b có 1 chẵn 1 lẻ

Mà 2a không thể nào là lẻ => 2a là chẵn

=>5b là lẻ

=> 5b=5.1 hoặc 5b=5.3

5.1=5

19-5=14

14:2=7  ->(1)

5.3=15

19-15=4

4:2=2  ->(2)

Từ (1);(2)=> a  và b có hai trường hợp:

- Trường hợp 1: a=7 và b=1

Trường hợp 2: a=2 và b=3

Gọi d là Ước chung lớn nhất của 11a + 2b và 18a + 5

=> 11a + 2b chia hết cho d

=> 18a + 5b chia hết cho d

=> 11( 18a + 5b ) - 18( 11a + 2b ) chia hết cho d

=> ( 198a + 55b ) - ( 198a + 36b ) chia hết cho d

=> 19b chia hết cho d ( 1 )

=> 5( 11a + 2b ) - 2( 18a + 5b ) chia hết cho d

=> ( 55a + 10b ) - ( 36a + 10b ) chia hết cho d

=> 19a chia hết cho d ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra 19 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(19)

=> d thuộc { 1 ; 19 }

Mà d là Ước chung lớn nhất của 11a + 2b và 18a + 5b

=> d = 19.

ta có:3a+5b chia hết cho 19

=>5(3a+5b) chia hết cho 19

=>15a+25b chia hết cho 19 (1)

5a+2b chia hết cho 19

=>3(5a+2b)chia hết cho 19

=>15a+6b chia hết cho 19 (2)

(1)-(2)=19b chia hết cho 19

3a+5b chia hết cho 19

=> 2.(3a+5b) chia hết cho 19

=> 6a+10b chia hết cho 19

=> 6a+19a+10b chia hết cho 19 ( vi 19a chia hết cho 19 ) 

=> 25a+10b chia hết cho 19

=> 5.(5a+2b) chia hết cho 19

Vi (5;19)=1

=> 5a+2b chia hết cho 19

Xét tổng 3(3a + 5b) + 2.(5a + 2b) = 9a + 15b + 10a + 4b = 19a + 19b = 19(a + b)

=> 2(5a + 2b) = 19(a + b) - 3(3a+ 5b)

Ta có 3a + 5b chia hết cho 19 nên 3(3a + 5b) chia hết cho 19

19(a + b) luôn chia hết cho 19 

=> 19(a + b) - 3(3a+ 5b) chia hết cho 19 

=> 2(5a + 2b) chia hết cho 19

Mà 2; 19 nguyên tố cùng nhau nên 5a + 2b chia hết cho 19

Vậy..................

Gọi ước chung lớn nhất của 11a + 2b và 18a + 5b  là d ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}11a+2b⋮d\\18a+5b⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(11a+2b\right).5⋮d\\\left(18a+5b\right).2⋮d\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}55a+10b⋮d\\36a+10b⋮d\end{matrix}\right.\)

⇒ 55a + 10b - (36a + 10b) ⋮ d ⇒ 55a + 10b - 36a - 10b ⋮ d ⇒19a⋮d (1)

\(\left\{{}\begin{matrix}11a+2b⋮d\\18a+5b⋮d\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(11a+2b\right).18⋮d\\\left(18a+5b\right).11⋮d\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}198a+36b⋮d\\198a+55b⋮d\end{matrix}\right.\)

⇒198a + 55b -(198a + 36b) ⋮ d⇒198a + 55b -198a -36b ⋮d⇒ 19b⋮d(2)

Kết hợp(1) và (2) ta có: d là ước chung của 19a và 19b

19a = 19.a; 19b = 19.b và (a;b) = 1⇒ ƯCLN(19a; 19b) = 19

⇒ d = 19 ⇒ ƯC(11a + 2b; 18a + 5b) = {1; 19) (đpcm)

Lời giải:

Gọi $d=ƯCLN(11a+2b, 18a+5b)$

$\Rightarrow 11a+2b\vdots d; 18a+5b\vdots d$

$\Rightarrow 5(11a+2b)-2(18a+5b)\vdots d$
$\Rightarrow 19\vdots d$

$\Rightarrow d=1$ hoặc $d=19$

Vậy ta có đpcm.

Chào em, em giải bài này như sau nhé (bài nào khó hỏi anh nha)

M chia hết cho 19 nên \(\hept{\begin{cases}9a+11b⋮19\\5b+11a⋮19\\9a+11b⋮19;11a+5b⋮19\end{cases}}\)

Đến đây ta xét 3 trường hợp:

   Trường hợp 1: Cả 2 số 9a+11b và 11a+5b chia hết cho 19, khi đó M chia hết cho 19*19=361, bài toán được giải xong.

   Trường hợp 2: 9a+11b chia hết cho 19, ta sẽ chứng minh 5b+11a cũng chia hết cho 19

Ta có:

         \(11\left(11a+5b\right)=121a+55b=5\left(11b+9a\right)+76a\)

Nhân thấy 76a =19x4xa chia hết cho 19 và 5(11b+9a) chia hết cho 19 (theo giả thiết đang xét)

Do đó\(11\left(11a+5b\right)⋮19\Rightarrow11a+5b⋮19\)(do 11 và 19 nguyên tố cùng nhau)

Khi đó M chia hết cho 19*19=361 vì cả 9a+11b và 11a+5b đều chia hết cho 19

Trường hợp 3: 5b+11a chia hết cho 19, ta sẽ chứng minh 9a+11b chia hết cho 19

Ta có: \(11\cdot\left(9a+11b\right)=99a+121b=9\left(11a+5b\right)+76b\)

Nhân thấy 76b =19x4xb chia hết cho 19 và 9(5b+11a) chia hết cho 19 (theo giả thiết đang xét)

Do đó\(11\left(9a+11b\right)⋮19\Rightarrow9a+11b⋮19\)(do 9 và 19 nguyên tố cùng nhau)

Khi đó M chia hết cho 19*19=361 vì cả 9a+11b và 11a+5b đều chia hết cho 19

Vậy M chia hết cho 19 thì M cũng chia hết cho 361

Bài này khó nhỉ 

Nghe nói bài này sẽ có trong thi

11(11a+5b) dau ra the anh