a; Đặt A= \(a^{2017}+a^{2015}+1\)

\(=a^4\left(a^{2013}-1\right)+a^2\left(a^{2013}-1\right)+a^4+a^2+1\)=\(a^4\left(\left(a^3\right)^{671}-1\right)+a^2\left(\left(a^3\right)^{671}-1\right)+\left(a^2+a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\)

= \(\left(a^2+a+1\right)F\left(a\right)\) (trong đó F(a) là đa thức chứa a)

\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(a^2+a+1\)

do \(a^2+a+1\) > 1 (dễ cm đc)

mà A là số nguyên tố

\(\Rightarrow A=a^2+a+1\)

hay \(a^{2017}+a^{2015}+1=a^2+a+1\)

\(\Leftrightarrow a\left(a\left(a^{2015}-1\right)+\left(a^{2014}-1\right)\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right).G\left(a\right)=0\) ( bạn đặt nhân tử chung ra)

do a dương => a>0 => a-1=0=> a=1(t/m)

Kết Luận:...

chỗ nào bạn chưa hiểu cứ nói cho mình nha :3

Mình không biết nha tạm thời bạn hỏi bạn khác đi 😅

hỏi chấm

mk mới lớp 8 nên ko biết làm bài lớp 9

Lời giải:

Sử dụng bổ đề: Một số chính phương $x^2$ khi chia 3 dư 0 hoặc 1.

Chứng minh:

Nêú $x$ chia hết cho $3$ thì $x^2\vdots 3$ (dư $0$)

Nếu $x$ không chia hết cho $3$. Khi đó $x=3k\pm 1$ 

$\Rightarrow x^2=(3k\pm 1)^2=9k^2\pm 6k+1$ chia $3$ dư $1$

Vậy ta có đpcm

-----------------------------

Áp dụng vào bài:

TH1: Nếu $a,b$ chia hết cho $3$ thì hiển nhiên $ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$

TH1: Nếu $a\vdots 3, b\not\vdots 3$

$\Rightarrow b^2$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow b^2+3\vdots 3$

$\Rightarrow a(b^2+3)\vdots 9$

$\Rightarrow ab(a^2+3)(b^2+3)\vdots 9$

TH3: Nếu $a\not\vdots 3; b\vdots 3$

$\Rightarrow a^2$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow a^2+2\vdots 3$

$\Rightarrow b(a^2+2)\vdots 9$

$\Rightarrow ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$

TH4: Nếu $a\not\vdots 3; b\not\vdots 3$

$\Rightarrow a^2, b^2$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow a^2+2\vdots 3; b^2+2\vdots 3$

$\Rightarrow ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$

Từ các TH trên ta có đpcm.

BN THAM KHẢO:

thx ban

Để \(\frac{2a+2b}{ab+1}\) là bình phương của 1 số nguyên thì 2a + 2b chia hết cho ab + 1; mà ab + 1 chia hết cho 2a + 2b => ab + 1 = 2b + 2a
=> \(\frac{2a+2b}{ab+1}\)=1 = 1²

mình ché trên mạng

 a. Ta xét a = 1 
=> a + b^2 = b^2 + 1 = (b^2 - 1) + 2 chia hết cho (b - 1) 
=> 2 chia hết cho (b - 1) 
=> b = 2 hoặc b = 3 

(a, b) = (1, 2), (1, 3) thỏa mãn 

b. ta xét a = 2 
=> a + b^2 = b^2 + 2 chia hết cho (4b - 1) 
=> 4b^2 + 8 chia hết cho (4b - 1) 
=> (4b^2 - b) + (b + 8) chia hết cho (4b - 1) 
=> (b + 8) chia hết cho (4b - 1) * 
Ta thấy * thỏa mãn khi b = 1 hoặc b = 3, với b > 3 ta có (4b - 1) > b + 8 
nên b + 8 không chia hết cho (4b - 1) 

Thử lại ta thấy (a, b) = (2, 1), (2, 3) thỏa mãn 

c. Ta xét a > 2 

không thể có b = 1 vì lúc đó ta có 
a^2 - a - 2 = a(a - 1) - 2 > 2*(2 - 1) - 2 = 0 
=> a + 1 < a^2 - 1 
=> a + 1 không thể chia hết cho a^2 - 1 

tiếp theo ta xét b >= 2 

c.1. xét a > b 
a*[a*(b - 1) - 1] >= a*[a*(2 - 1) - 1] = a*(a - 1) > 2*(2 - 1) = 2 > 1 
=> a^2(b - 1) - a > 1 
=> a^2b - 1 > a + a^2 > a + b^2 
=> a + b^2 không thể chia hết cho a^2b - 1 

c.2. xét a = b 
a^3 - 1 = (a - 1)(a ^2 + a + 1) > (a ^2 + a + 1) > a + a^2 
=> a + a^2 không chia hết cho a^3 - 1 

c.3 xét a < b 
"(a + b^2) chia hết cho (a^2b - 1)" 
<=> "(a^3 + a^2*b^2) chia hết cho (a^2b - 1)" 
<=> "(a^3 + b) + b*(a^2*b - 1) chia hết cho (a^2b - 1)" 
<=> "(a^3 + b) chia hết cho (a^2b - 1)" ** 
Ta cm ** sai 

(a + 1)(a^2 - 1) = (a + 1)(a^2 - a + a - 1) > (a + 1)(a^2 - a + 1) (do a - 1 > 1) = a^3 + 1 
=> b >= (a + 1) > (a^3 + 1)/(a^2 - 1) 
=> b(a^2 - 1) > a^3 + 1 
=> a^2b - 1 > a^3 + b 
vậy (a^3 + b) không thể chia hết cho (a^2b - 1) tức ** sai. 

*mina*

cách hay mà, sai đâu