Cho abc = 1 (1)
a+b+c = \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) (2)
Chứng minh rằng : Trong 3 số a, b , c tồn tại 1 số = 1
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 +b2 +c2) = a+b+c+3. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{\sqrt{a^4+a^2+1}}\)+ \(\dfrac{1}{\sqrt{b^4+b^2+1}}\)+ \(\dfrac{1}{\sqrt{c^4+c^2+1}}\) \(\ge\sqrt{3}\)
mng giúp mình nhé, cảm ơnn
1) Cho ba số tự nhiền a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2=20c+2\).Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên chỉ toàn chữ số 1 chia hết cho ab
a) 9x2 - 36
=(3x)2-62
=(3x-6)(3x+6)
=4(x-3)(x+3)
b) 2x3y-4x2y2+2xy3
=2xy(x2-2xy+y2)
=2xy(x-y)2
c) ab - b2-a+b
=ab-a-b2+b
=(ab-a)-(b2-b)
=a(b-1)-b(b-1)
=(b-1)(a-b)
P/s đùng để ý đến câu trả lời của mình
cho a,b là các số dương. Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\)≥\(\dfrac{4}{a+b}\)
-Áp dụng BĐT Caushy Schwarz cho các cặp số dương (1,1) ở tử và (a,b) ở mẫu ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{a+b}\)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\).
-Hoặc có thể c/m bằng phép biến đổi tương đương:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)ab.\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}.\left(a+b\right)ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Câu hỏi nhóm BGS số 3 - lớp 8:
Cho 4 số nguyên dương a,b,c,d trong đó tổng ba số bất kì chia cho số còn lại đều có thương là một số nguyên khác 1. Chứng minh rằng trong bốn số a, b, c, d tồn tại hai số bằng nhau.
1. Chứng minh rằng mọi số a, b, c khác 0 tồn tại 1 trong các phương trình sau phải có ngiệm:
ax2 + 2bc + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (2)
1. Chứng minh rằng mọi số a, b, c khác 0 tồn tại 1 trong các phương trình sau phải có ngiệm:
ax2 + 2bc + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (2)
Ta có ∆1' + ∆2' + ∆3' = b2 - ac + c2 - ab + a2 - bc = \(\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2}\)\(\ge\)0
Vậy có ít nhất 1 phương trình có nghiệm
1. Chứng minh rằng mọi số a, b, c khác 0 tồn tại 1 trong các phương trình sau phải có ngiệm:
ax2 + 2bc + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (2)
Cho a, b, c > 1 và \(\sqrt{a-1}\) + \(\sqrt{b-1}\) + \(\sqrt{c-1}\) \(\le\)\(\dfrac{3}{2}\)
Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{15}{2}\)
Ta có \(\sqrt{a-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}\) \(=\sqrt{a-1}+\dfrac{1}{4\sqrt{a-1}}+\dfrac{3}{4\sqrt{a-1}}\) \(\ge2\sqrt{\sqrt{a-1}.\dfrac{1}{4\sqrt{a-1}}}+\dfrac{3}{4\sqrt{a-1}}\) \(=1+\dfrac{3}{4\sqrt{a-1}}\).
Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng vế theo vế, ta có
\(VT\ge3+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\right)\)
\(\ge3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}}\)
\(\ge3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}\) \(=\dfrac{15}{2}\).
ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{5}{4}\). Ta có đpcm
Có \(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{15}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{15}{2}-\left(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\right)\ge6\) (1)
Ta chứng minh (1) đúng
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz :
\(\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}=6\)Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a-1}=\sqrt{b-1}=\sqrt{c-1}\\\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{5}{4}\)(tm)
Cho a,b là 2 số dương có tổng bằng 1.Chứng minh
\(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}\)≥\(\dfrac{4}{3}\)
-Áp dụng BĐT Caushy Schwarz ta có:
\(\dfrac{1^2}{a+1}+\dfrac{1^2}{b+1}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b+1+1}=\dfrac{4}{3}\)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)