cho\(\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}T\text{ÍNH}A=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{a+d}{b+c}\)
\(\text{Cho }:\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+2c+d}{d}\)
\(\text{Tính M}=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}\)
Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{a+b+c}+\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+d+a}{b}+\frac{d+a+b}{c}+\frac{a+b+c}{d}\)
Do a,b,c,d > 0 nên \(b+c+d>0,c+d+a>0,d+a+b>0,a+b+c>0\)
Áp dụng BĐT AM - GM ta có :
\(\frac{a}{b+c+b}+\frac{b+c+d}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b+c+d}.\frac{b+c+d}{a}}=2\)
Tương tự ta có được điều phải chứng minh
Khi đó \(P\ge2+2+2+2=8\)
Cho dãy tỉ số bằng nhau :
a) \(\frac{a+b+c-d}{d}=\frac{b+c+d-a}{a}=\frac{c+d+a-b}{b}=\frac{d+a+b-c}{c}\)
Tính : \(M=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}\)
ta có:\(\dfrac{a+b+c-d}{d}=\dfrac{b+c+d-a}{a}=\dfrac{a+d+a-b}{b}=\dfrac{d+a+b-c}{c}\)\(=>\dfrac{a+b+c-d}{d}+2=\dfrac{b+c+d-a}{a}+2=\dfrac{c+d+a-b}{b}+2=\dfrac{d+a+b-c}{c}+2\)\(=>\dfrac{a+b+c+d}{d}=\dfrac{b+c+d+a}{a}=\dfrac{c+d+a+b}{b}=\dfrac{d+a+b+c}{c}\)Nếu a+b+c+d=0=>a+b=-(c+d)
b+c=-(a+d)
c+d=-(a+b)
a+d=-(b+c)
thay vào bt M ta có:\(\dfrac{-\left(c+d\right)}{c+d}=\dfrac{-\left(d+a\right)}{d+a}=\dfrac{-\left(a+b\right)}{a+b}=\dfrac{-\left(b+c\right)}{b+c}\)=>-1-1-1-1=-4
Nếu a+b+c+d≠0
=>a=b=c=d thì lúc đó M=1+1+1+1=4
Vậy M=4 hoặc M=-4
Cho \(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}\)
Tính \(M=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}-\left(\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}\right)\)
trừ mỗi tỉ lệ cho 1 ta được:
\(\frac{2a+b+c+d}{a}-1=\frac{a+2b+c+d}{b}-1=\frac{a+b+2c+d}{c}-1=\frac{a+b+c+2d}{d}-1\)
\(\Rightarrow\frac{2a+b+c+d}{a}-\frac{a}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}-\frac{b}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}-\frac{c}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}-\frac{d}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)
+Nếu a+b+c+d\(\ne\)0 thì a=b=c=d lúc đó
M=1+1+1+1=4
+Nếu a+b+c+d=0 thì a+b=-(c+d);b+c=-(d+a);c+d=-(a+b);d+a=-(b+c) lúc đó:
M=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=-4
\(\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}=\frac{a+b+2c+d+a+b+c+2d}{c+d}=\frac{2a+2b+3c+3d}{c+d}\)
\(=\frac{2\left(a+b\right)}{c+d}+\frac{3\left(c+d\right)}{c+d}=2.\frac{a+b}{c+d}+3\)
\(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+2d}{d}=\frac{2a+b+c+d+a+b+c+2d}{a+d}=\frac{3a+3d+2c+2b}{a+d}\)
\(=\frac{3\left(a+d\right)}{a+d}+\frac{2\left(b+c\right)}{a+d}=3+2.\frac{b+c}{a+d}\)
\(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{2a+b+c+d+a+2b+c+d}{a+b}=\frac{3a+3b+2c+2d}{a+b}\)
\(=\frac{3\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{2\left(c+d\right)}{a+b}=3+\frac{c+d}{a+b}.2\)
\(\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+2b+c+d+a+b+2c+d}{b+c}=\frac{3b+3c+2a+2d}{b+c}\)
\(=\frac{3\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{2\left(a+d\right)}{b+c}=3+\frac{a+d}{b+c}.2\)
\(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}=\frac{5\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=5\)
\(\Rightarrow\frac{2a+b+c+d}{a}+\frac{a+2b+c+d}{b}+\frac{a+b+2c+d}{c}+\frac{a+b+c+2d}{d}=5.4=20\)
\(\Rightarrow3+\frac{a+b}{c+d}.2+3+\frac{b+c}{a+d}.2+3+\frac{c+d}{a+b}.2+3+\frac{d+a}{b+c}.2=20\)
\(\Rightarrow2.\left(\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}\right)=20-3-3-3-3\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{b+a}+\frac{d+a}{b+c}=8:2=4\)
vậy \(\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}=4\)
cho a, b, c, d >0
tim GTNN :
S=\(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}+\frac{b+c+d}{a}+\frac{a+c+d}{b}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+b+c}{d}\)
Xét riêng lần lượt với các biểu thức \(R=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}\) và
\(Q=\frac{b+c+d}{a}+\frac{a+c+d}{b}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+b+c}{d},\) ta có:
\(\text{*) }\) Ta biến đổi biểu thức \(R\) bằng cách cộng mỗi biểu thức trong nó với \(1,\) cùng lúc đó, ta tạo được một nhân tử mới cho \(R\) để phục vụ việc chứng minh. Khi đó, \(R\) sẽ mang dạng mới sau:
\(R=\left(a+b+c+d\right)\left(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\right)-4\)
nên \(R=\frac{1}{3}.\left[3\left(a+b+c+d\right)\right]\left(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\right)-4\)
Đặt \(x=b+c+d;\) \(y=a+c+d;\) \(z=a+b+d;\) và \(t=a+b+c\)
Không quên đặt điều kiện cho các ẩn số vừa đặt, ta có:
\(\hept{\begin{cases}x,y,z,t>0\\x+y+z+t=3\left(a+b+c+d\right)\end{cases}}\)
Ta biểu diễn lại các biểu thức \(R\) theo các biến vừa mới nêu sau đây:
\(R=\frac{1}{3}\left(x+y+z+t\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)-4\)
Mặt khác, theo một kết quả quen thuộc được đúc kết từ bất đẳng thức \(Cauchy-Schwarz\) ta được:
\(\left(x+y+z+t\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\ge16\)
Và bằng phép chứng minh theo bất đẳng thức \(AM-GM\) cho \(4\) số dương, ta dễ dàng đi đến kết luận rằng bất đẳng thức ở trên là một bất đẳng thức luôn đúng với mọi \(x,y,z,t>0\)
Khi đó, \(R\ge\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}\)
\(\text{*) }\) Tương tự lập luận cho biểu thức \(Q,\) ta cũng có đánh giá khá thú vị cho nó, điển hình:
\(Q\ge12\)
Mà \(S=R+Q\ge\frac{4}{3}+12=5\frac{1}{3}\)
Cuối cùng, với \(a=b=c=d>0\) (thỏa mãn điều kiện) thì \(S=5\frac{1}{3}\) nên suy ra \(5\frac{1}{3}\) là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S\)
Cho \(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}\)
Tìm giá trị biểu thức: P= \(\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}\)
Cùng trừ mỗi tỉ số trên đi 1 đơn vị ta được:
\(\frac{2a+b+c+d}{a}-1=\frac{a+2a+c+d}{b}-1=\frac{a+b+2c+d}{c}-1=\frac{a+b+c+2d}{d}-1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)
Suy ra 2 trường hợp:
TH1:
Nếu a+b+c+d ∉ 0 ⇒ a = b = c = d
➜ P= 1+1+1+1 = 4
TH2:
Nếu a+b+c+d =0
⇒ a+b = -(c+d)
b+c = -(d+a)
⇒ c+d = -(a+b)
d+a = -(b+c)
➜ P= (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4
cho \(\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}\)
tính \(A=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}\)
Cho \(a+b+c+d=2000\) và \(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{c+d+a}+\frac{1}{d+a+b}=\frac{1}{40}\)
Tính \(S=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{a+b+c}\)
Mình thử nha :33
Ta có : \(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{c+d+a}+\frac{1}{d+a+b}=\frac{1}{40}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c+d\right)\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{c+d+a}+\frac{1}{d+a+b}=\frac{1}{40}\cdot2000=50\) ( do \(a+b+c+d=2000\) )
\(\Rightarrow1+\frac{d}{a+b+c}+1+\frac{a}{b+c+d}+1+\frac{b}{c+d+a}+1+\frac{a}{b+c+d}=50\)
\(\Rightarrow S=50-4=46\)
Vậy : \(S=46\) với a,b,c,d thỏa mãn đề.
1.Cho a+b+c+d ≠0 và \(\frac{a}{b+c+d}\)=\(\frac{b}{a+c+d}\)=\(\frac{c}{a+b+d}\)=\(\frac{d}{a+b+c}\)
Tính giá trị của A=\(\frac{a+b}{c+d} \)+\(\frac{b+c}{a+d}\)+\(\frac{c+d}{a+b}\)+\(\frac{d+a}{b+c}\)
2.Tìm x,y,z biết :
a)\(\dfrac{x^3}{8}\)=\(\dfrac{y^3}{64}\)=\(\dfrac{z^3}{216}\)và \(x^2\)+\(y^2\)+\(z^2\)=14
b)\(\dfrac{2x+1}{5}=\dfrac{3y-2}{7}=\dfrac{2x+3y-1}{6x}\)
1, \(\dfrac{a}{b+c+d}=\dfrac{b}{a+c+d}=\dfrac{c}{a+b+d}=\dfrac{d}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c+d}{3\left(a+b+c+d\right)}=\dfrac{1}{3}\)
Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}3a=b+c+d\left(1\right)\\3b=a+c+d\left(2\right)\\3c=a+b+d\left(3\right)\\3d=a+b+c\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow3\left(a+b\right)=a+b+2c+2d\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=2\left(c+d\right)\Leftrightarrow a+b=c+d\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{c+d}=1\)
Tương tự cũng có: \(\dfrac{b+c}{a+d}=1;\dfrac{c+d}{a+b}=1;\dfrac{d+a}{b+c}=1\)
\(\Rightarrow A=4\)
2, Có \(\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{216}\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{6}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{4+16+36}=\dfrac{14}{56}=\dfrac{1}{4}\)
Do đó \(\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{1}{4};\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{1}{4};\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=4\\z^2=9\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm2\\z=\pm3\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right),\left(-1;-2;-3\right)\)
Bài 2 :
a, Ta có : \(\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{216}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{6}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{4+16+36}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=4\\z^2=9\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm2\\z=\pm3\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
b, Ta có : \(\dfrac{2x+1}{5}=\dfrac{3y-2}{7}=\dfrac{2x+3y-1}{5+7}=\dfrac{2x+3y-1}{6x}\)
\(\Rightarrow6x=12\)
\(\Rightarrow x=2\)
\(\Rightarrow y=3\)
Vậy ...