Giả sử hình thang ABCD có AB // CD, đường trung bình là MN. Gọi I là trung điểm của MN, đường thẳng bất kỳ đi qua I cắt AB tại P và CD tại Q.

Ta có hai hình thang APQD và BPQC có cùng đường cao.

MI là đường trung bình của hình thang APQD.

Suy ra: MI = 1/2 (AP + QD)

IN là đường trung bình của hình thang BPQC.

Suy ra: IN = 1/2 (BP + QC)

S A P Q D  = 1/2 (AP + QD).AH = MI.AH (1)

S B P Q C  = 1/2 (BP + QC).AH = IN.AH (2).

IM = IN (gt) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: S A P Q D = S B P Q C , các giá trị này không phụ thuộc vào vị trí của P và Q.

Ta có hình vẽ và các điểm tương ứng. Gọi x là chiều rông 2 con đường, đk : 0<x<15

Hình thang GHIK  là hình thang cân, có đáy lớn cộng đáy nhỏ bằng 2MN = AB + DC = 80

Vậy \(S_{GHIK}=\frac{80.2x}{2}=80x\)

PQRS là hình bình hành nên diện tích bằng: \(2x.35=70x\)

Phần gạch chéo là hình bình cạnh đáy 2x, chiều cao 2x nên diện tích là \(2x.2x=4x^2\)

Vậy diện tích hình GPQHIRSK bằng: \(S_{GHIK}+S_{PQRS}\)- S phần gạch chéo = \(80x+70x-4x^2=\frac{1}{4}\frac{80.35}{2}\Rightarrow-4x^2+150x-350=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2,5\\x=35\left(L\right)\end{cases}}\)

Kéo dài AB về phía B một đoạn BE=DC. Nối DE cắt BC tại M.

Do CD // BE nên ta có tam giác MDC = tam giác MEB (trường hợp g.c.g). Suy ra dt(ABCD)=dt(ABMD) + dt(MDC) = dt(ABMD) + dt(MEB) = dt(DAE) = 1/2 .AE . h =1/2 (AB + BE).h = \(\dfrac{AB+CD}{2}.h\)

b) Theo câu a) thì diện tích hình thang ABCD bằng diện tích tam giác DAE nên ta nối D với trung điểm N của AE thì DN sẽ chia tam giác DAE thành 2 phần bằng nhau. Khi đó diện tích tam giác DAN bằng nửa diện tích hình thang ABCD.

Cạnh hình vuông dài:

96 : 4 = 24 (m)

Diện tích hình vuông hay diện tích hình thang là:

24 x 24 = 576 (m2)

Tổng hai đáy hình thang là:

36 x 2 = 72 (m)

Đáy bé dài: (72 – 10 ) : 2 =31 (m)

Đáy lớn dài: 31 + 10 = 41 (m)