Bài 1: Biết \(\dfrac{bz-cy}{a}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-bx}{c}.\)
C/m: x : y : z = a:b:c
Bài 2: So sánh 291 và 535
Bài 3 : \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{ab}{cd}\)
Cho \(\dfrac{bz+cy}{x\left(-ax+by+cz\right)}=\dfrac{cx+az}{y\left(ax-by+cz\right)}=\dfrac{ay+bx}{z\left(ax+by-cz\right)}\)
CMR : \(\dfrac{ay+bx}{c}=\dfrac{bz+cy}{a}=\dfrac{cx+az}{b}\)
b) \(\dfrac{x}{a\left(b^2+c^2-a^2\right)}=\dfrac{y}{b\left(a^2+c^2-b^2\right)}=\dfrac{z}{c\left(a^2+b^2-c^2\right)}\)
Phương Ann Nhã Doanh đề bài khó wá Mashiro Shiina Đinh Đức Hùng
Nguyễn Huy Tú Lightning Farron Akai Haruma
a) Cho \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) (\(a,b,c,d\ne0\)). Chứng minh rằng:
1) \(\dfrac{2a+5b}{3a-4b}=\dfrac{2c+5d}{3c-4d}\)
2) \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)
3) \(\dfrac{a^3+b^3}{c^3+d^3}=\dfrac{\left(a+b\right)^3}{\left(c+d\right)^3}\) \(\left(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ne1\right)\)
b)Cho \(\dfrac{2a+13b}{3a-7b}=\dfrac{2c+13d}{3c-7d}\). Chứng minh rằng:\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
c)Cho \(\dfrac{cy-bz}{x}=\dfrac{az-cx}{y}=\dfrac{bx-ay}{z}\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)
Bài 1:
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk; c=dk\)
Khi đó: \(\left\{\begin{matrix} \frac{2a+5b}{3a-4b}=\frac{2bk+5b}{3bk-4b}=\frac{b(2k+5)}{b(3k-4)}=\frac{2k+5}{3k-4}\\ \frac{2c+5d}{3c-4d}=\frac{2dk+5d}{3dk-4d}=\frac{d(2k+5)}{d(3k-4)}=\frac{2k+5}{3k-4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{2a+5b}{3a-4b}=\frac{2c+5d}{3c-4d}\)
Ta có đpcm.
Bài 2:
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk; c=dk\)
Khi đó: \(\frac{ab}{cd}=\frac{bk.b}{dk.d}=\frac{b^2}{d^2}\)
\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{(bk)^2+b^2}{(dk)^2+d^2}=\frac{b^2(k^2+1)}{d^2(k^2+1)}=\frac{b^2}{d^2}\)
Do đó: \(\frac{ab}{cd}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}(=\frac{b^2}{d^2})\) . Ta có đpcm.
Bài 3:
a) Sửa điều kiện: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\neq -1\)
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk; c=dk\)
Theo đkđb thì \(k\neq -1\) nên \(k^3+1\neq 0\); \(k+1\neq 0\)
Ta có: \(\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}=\frac{(bk)^3+b^3}{(dk)^3+d^3}=\frac{b^3(k^3+1)}{d^3(k^3+1)}=\frac{b^3}{d^3}\)
\(\frac{(a+b)^3}{(c+d)^3}=\frac{(bk+b)^3}{(dk+d)^3}=\frac{b^3(k+1)^3}{d^3(k+1)^3}=\frac{b^3}{d^3}\)
\(\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}=\frac{(a+b)^3}{(c+d)^3}\) (đpcm)
b)
Đặt \(\frac{a}{b}=k; \frac{c}{d}=t\Rightarrow a=bk; c=dt\)
Ta cần cm \(k=t\)
Khi đó:
\(\frac{2a+13b}{3a-7b}=\frac{2bk+13b}{3bk-7b}=\frac{b(2k+13)}{b(3k-7)}=\frac{2k+13}{3k-7}\)
\(\frac{2c+13d}{3c-7d}=\frac{2dt+13d}{3dt-7d}=\frac{d(2t+13)}{d(3t-7)}=\frac{2t+13}{3t-7}\)
Vì \(\frac{2a+13b}{3a-7b}=\frac{2c+13d}{3c-7d}\Rightarrow \frac{2k+13}{3k-7}=\frac{2t+13}{3t-7}\)
\(\Rightarrow (2k+13)(3t-7)=(2t+13)(3k-7)\)
\(-14k+39t=-14t+39k\Rightarrow k=t\)
Ta có đpcm.
Cho :
\(\dfrac{bz-cy}{a}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-bx}{c}\)
\(CMR:\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\left(a,b,c\ne\right)\)
giúp mk
ta có :
\(\dfrac{bz-cy}{a}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-bx}{c}=\dfrac{bxz-cyz}{ax}=\dfrac{cxy-azy}{by}=\dfrac{ayz-bxz}{cz}\)áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:\(\dfrac{bzx-cyx}{ax}=\dfrac{cxy-azy}{by}=\dfrac{ayz-bxz}{cz}=\dfrac{bzx-cyx+cxy-azy+ayz-bxz}{ax+by+cz}=0\)
suy ra : bz-cy=0 \(\Rightarrow bz=cy\Rightarrow\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\left(1\right)\)
cx-az=0\(\Rightarrow cx=az\Rightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{z}{c}\left(2\right)\)
ay-bx=0\(\Rightarrow ay=bx\Rightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}\left(3\right)\)
từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)
Ta có: \(\dfrac{bz-cy}{a}\)= \(\dfrac{cx-az}{b}\)=\(\dfrac{ay-bx}{c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{abz-acy}{a^2}=\dfrac{bcx-baz}{b^2}=\dfrac{cay-cbx}{c^2}\)(nhân cả tử và mẫu với mẫu của phân số)
\(=\dfrac{abz-acy+bcx-baz+cay-cbx}{a^2+b^2+c^2}\) (t/c của dãy tỉ số bằng nhau)
(đến đây ta thấy tử = 0 vì chúng là các số đối nhau, abz-baz; acy-cay; bcx-cbx)
\(=\dfrac{0}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{bz-cy}{a}\)= 0 (mà để là một phân số thì mẫu phải khác 0) suy ra a khác 0 vậy bz-cy=0 \(\Rightarrow bz=cy\Rightarrow\dfrac{z}{c}=\dfrac{y}{b}\)(1)
tương tự \(\dfrac{cx-az}{b}\)=0 suy ra \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{z}{c}\) từ 1 và 2 suy ra điều phải c/m\(\)
\(\dfrac{bz-cy}{a}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-bx}{c}\left(a,b,c\ne0\right)\)
CMR: \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)
2) Cho a,b,c, d \(\in\) N*, b là trung bình cộng của a và c và \(\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{d}\right)\)
CMR: a,b,c,d lập nên 1 tỉ lệ thức
bz-cy/a = cx- az /b = ay-bx /c => bxz-cxy / ax = cxy-azy / b = azy-bxz/c = bxz-cxy + cxy-azy+azy-bxz / a+b+c = 0/ a+b+c = 0
Suy ra : bz -cy/a = 0 => bz-cy=0 => bz = cy => z/c = b/y
cx-az/b = 0 => cx-az=0 => cx=az => x/a = z/c
ay-bx/c = 0 => ay-bx = 0 => ay=bx=> y/b = x/a
Vậy x/a=y/b=c/z
\(\dfrac{bz-cy}{z}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-bx}{c}\) (1) CMR: \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) (*)
Lời giải:
Sửa đề: $z$ đầu tiên ở mẫu đổi thành $a$.
Ta có:
$\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}$
$=\frac{abz-cya}{a^2}=\frac{bcx-abz}{b^2}=\frac{acy-bcx}{c^2}$
$=\frac{abz-cya+bcx-abz+acy-bcx}{a^2+b^2+c^2}=\frac{0}{a^2+b^2+c^2}=0$
$\Rightarrow bz-cy=cx-az=ay-bx=0$
$\Rightarrow bz=cy; cx=az; ay=bx$
$\Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$
Ta có đpcm.
Chứng minh rằng nếu :
\(\dfrac{bz+cy}{x\left(-ax+by+cz\right)}\) = \(\dfrac{cx+az}{y\left(ax-by+cz\right)}\) = \(\dfrac{ay+bx}{z\left(ax+by-cz\right)}\)
thì : \(\dfrac{x}{a\left(b^2+c^2-a^2\right)}\) = \(\dfrac{y}{b\left(a^2+c^2-b^2\right)}\) = \(\dfrac{z}{c\left(a^2+b^2-c^2\right)}\)
Help me
Phương Ann Nhã Doanh Đinh Đức Hùng Mashiro Shiina
Nguyễn Thanh Hằng Nguyễn Huy Tú Lightning Farron
Akai Haruma Võ Đông Anh Tuấn
mấy anh chị cm cho e thêm cái : \(\dfrac{ay+bx}{c}=\dfrac{bz+cy}{a}=\dfrac{cx+az}{b}\)
tìm x,y,z biết \(\dfrac{xy}{ay+bx}=\dfrac{yz}{bz+cy}=\dfrac{xz}{cx+az}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)(a,b,c là hằng số)
Bài 1: Cho 4 số a,b,c,d thỏa mãn \(b^2=ac;c^2=bd\\ \) . Chứng minh \(\dfrac{a}{d}=\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\)
Bài 2 : Cho \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\). Chứng minh
a) \(\dfrac{7a^2+3ab}{11a^2-8b^2}=\dfrac{7c^2+3cd}{11c^2-8d^2}\)
b) \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\)
Bài 3 : CMR : Nếu a(y+z)=b(z+x)=c(x+y) trong đó a,b,c là các số thực khác nhau thì \(\dfrac{y-z}{a\left(b-c\right)}=\dfrac{z-x}{b\left(c-a\right)}=\dfrac{x-y}{c\left(a-b\right)}\)
Bài 4 : Cho \(\dfrac{bz-cy}{a}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-bx}{c}\). Chứng minh \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)
Bài 5 : CMR : Nếu \(\dfrac{x}{a+2b+c}=\dfrac{y}{2a+b-c}=\dfrac{z}{4a-4b+c}\) thì \(\dfrac{a}{x+2y+z}=\dfrac{b}{2x+y-z}=\dfrac{c}{4x-4y+z}\)
Ta có:
\(b^2=ac\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\left(1\right)\)
\(c^2=bd\Rightarrow\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2), suy ra: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{d}\)
Vậy \(\dfrac{a}{d}=\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\)(đpcm)
~ Học tốt!~
Cho biết : \(\dfrac{bz-cy}{a}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-bx}{c}\) với a,b,c \(\ne\) 0
Chứng minh rằng \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)
Ta có : \(\dfrac{bz-cy}{a}\text{=}\dfrac{cx-az}{b}\text{=}\dfrac{ay-bx}{c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a\left(bz-cy\right)}{a^2}\text{=}\dfrac{b\left(cx-az\right)}{b^2}\text{=}\dfrac{c\left(ay-bx\right)}{c^2}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\dfrac{a\left(bz-cy\right)}{a^2}\text{=}\dfrac{b\left(cx-az\right)}{b^2}\text{=}\dfrac{c\left(ay-bx\right)}{c^2}\text{=}\dfrac{abz-acy+bcz-baz+cay-cbx}{a^2+b^2+c^2}\text{=}0\)
\(\Rightarrow\dfrac{bz-cy}{a}\text{=}0\Rightarrow bz\text{=}cy\)
\(\Rightarrow\dfrac{b}{c}\text{=}\dfrac{y}{z}\left(1\right)\)
\(\dfrac{cx-az}{b}\text{=}0\Rightarrow cx\text{=}az\)
\(\Rightarrow\dfrac{c}{a}\text{=}\dfrac{z}{x}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2):
\(\Rightarrow dpcm\)