Có 4 số tự nhiên mà chỉ có 3 số dư (0 ; 1 ; 2) khi chia cho 3

Theo nguyên lý Đỉíchlê  => tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 3 => hiệu hai số đó chia hết cho 3 (đpcm)

đinh lí ấy là giừ đấy

Có 5 số, và 3 số dư khi chia cho 3 là 0;1;2 
Nếu có 3,4 hay 5 số mà có cùng số dư khi chia cho 3 thì tổng 3 trong số đó chia hết cho 3. 
Nếu có ít hơn 3 nghĩa là nhiều nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 thì trong 5 số đó cùng tồn tại các số chia 3 dư 0;1;2 nên tổng 3 số có số dư khi chia cho 3 khác nhau sẽ chia hết cho 3. 
Do đó trong 5 số nguyên bất kì luôn tìm được 3 số có tổng chia hết cho 3.

Chia 52 số nguyên tùy ý cho 100, ta có thể có các số dư từ 0, 1, 2, …, 99. Ta phân các số dư thành các nhóm sau: {0}; {1, 99}; …, {49, 51}, {50}. Ta có tất cả 51 nhóm và khi chia 52 số cho 100 ta có 52 số dư. Theo nguyên lí Dirichlet sẽ có 2 số dư cùng thuộc một nhóm. Ta có hai trường hợp:Trường hợp 1: Hai số dư giống nhau, suy ra hiệu hai số có hai số dư tương ứng đó sẽ chia hết cho 100Trường hợp 2: Hai số dư khác nhau, suy ra tổng của hai số có hai số dư tương ứng đó sẽ chia hết cho 100

Ta suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải:

Giả sử 52 số tự nhiên tùy ý là $a_1,a_2,...,a_{52}$. 

TH1: Nếu trong 52 số trên có 2 số cùng số dư khi chia cho $100$ là $a_i, a_j$ thì hiệu $a_i-a_j\vdots 100$ (1)

Nếu trong 52 số trên không có số nào có cùng số dư khi chia cho $100$, nghĩa là $a_1,a_2,..,a_{52}$ tương ứng với 52 số dư khác nhau khi chia $100\$

Xét dãy $(b_i)$ mà $b_i=-a_i$ với $i=1,2,...,52$

Khi đó, $b_1,b_2,....,b_{52}$ cũng tương ứng với $52$ số dư khác nhau khi chia cho $100$ 

$b_i=-a_i\equiv a_i\pmod {100}\Leftrightarrow a_i\equiv 0,50\pmod {100}$

Trong 104 số $a_1,a_2,...,a_{52}, b_1,b_2,...b_{52}$ có ít nhất $100$ số khi chia cho $100$ có số dư khác $0$ và $50$

Bỏ qua $0,50$ thì 1 số khi chia cho $100$ có thể có 98 số dư

Do đó theo định lý Dirichlet thì trong dãy những số không đồng dư với $0,50$ tồn tại ít nhất $[\frac{100}{98}]+1=2$ số $b_i,a_j(i\neq j)$ cùng số dư khi chia cho $100$

$\Leftrightarrow b_i\equiv a_j\pmod {100}$

$\Leftrightarrow a_i+a_j\pmod {100}$ hay $a_i+a_j\vdots 100$ (2)

Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.

 

 

 

 

 

Trong các số dư khi chia cho 3 thì có tất cả là ba số dư.

Mà theo đề bài thì có 4 số nên theo nguyên lí Đi - rích - lê thì có ít nhất 2 số đồng dư khi chia cho 3. Khi đó có ít nhất một hiệu của 2 số đồng dư đó chia hết cho 3.

số chia cho 3 có số dư là 1 trong các số:0,1,2,3(3 loại số dư)

có 4 số mà chỉ có 3 loại số dư nên có ít nhất 2 số  có cùng số dư khi chia cho 3 nên hiệu của 2 số đó phải chia hết cho 3

vậy ta đã chứng minh được bài toán

Các số tự nhiên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0,1 hoặc 2. 

Áp dụng nguyên lý Đi-rích-lê, ta có:

Trong 4 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng sẽ có 2 số cùng số dư khi chia cho 3, do đó hiệu của chúng sẽ chia hết cho 3.

Bn an vao chu xanh Chứng minh rằng trong 4 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng có 2 số có hiệu chia hết cho 3 tick nha Nguyễn Phương Ly