Violympic toán 6

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Minh Châu Nguyễn

CMR : Trong 52 số tự nhiên tùy ý ít nhất cũng có một cặp gồm 2 số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100 . 

Làm nhanh hộ mình nha , mik đang cần gấp 

Buddy
18 tháng 1 2021 lúc 21:32
Chia 52 số nguyên tùy ý cho 100, ta có thể có các số dư từ 0, 1, 2, …, 99. Ta phân các số dư thành các nhóm sau: {0}; {1, 99}; …, {49, 51}, {50}. Ta có tất cả 51 nhóm và khi chia 52 số cho 100 ta có 52 số dư. Theo nguyên lí Dirichlet sẽ có 2 số dư cùng thuộc một nhóm. Ta có hai trường hợp:Trường hợp 1: Hai số dư giống nhau, suy ra hiệu hai số có hai số dư tương ứng đó sẽ chia hết cho 100Trường hợp 2: Hai số dư khác nhau, suy ra tổng của hai số có hai số dư tương ứng đó sẽ chia hết cho 100

Ta suy ra điều phải chứng minh.

Akai Haruma
19 tháng 1 2021 lúc 0:43

Lời giải:

Giả sử 52 số tự nhiên tùy ý là $a_1,a_2,...,a_{52}$. 

TH1: Nếu trong 52 số trên có 2 số cùng số dư khi chia cho $100$ là $a_i, a_j$ thì hiệu $a_i-a_j\vdots 100$ (1)

Nếu trong 52 số trên không có số nào có cùng số dư khi chia cho $100$, nghĩa là $a_1,a_2,..,a_{52}$ tương ứng với 52 số dư khác nhau khi chia $100\$

Xét dãy $(b_i)$ mà $b_i=-a_i$ với $i=1,2,...,52$

Khi đó, $b_1,b_2,....,b_{52}$ cũng tương ứng với $52$ số dư khác nhau khi chia cho $100$ 

$b_i=-a_i\equiv a_i\pmod {100}\Leftrightarrow a_i\equiv 0,50\pmod {100}$

Trong 104 số $a_1,a_2,...,a_{52}, b_1,b_2,...b_{52}$ có ít nhất $100$ số khi chia cho $100$ có số dư khác $0$ và $50$

Bỏ qua $0,50$ thì 1 số khi chia cho $100$ có thể có 98 số dư

Do đó theo định lý Dirichlet thì trong dãy những số không đồng dư với $0,50$ tồn tại ít nhất $[\frac{100}{98}]+1=2$ số $b_i,a_j(i\neq j)$ cùng số dư khi chia cho $100$

$\Leftrightarrow b_i\equiv a_j\pmod {100}$

$\Leftrightarrow a_i+a_j\pmod {100}$ hay $a_i+a_j\vdots 100$ (2)

Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.

 

 

 

 

 


Các câu hỏi tương tự
Tào Tháo Đường
Xem chi tiết
Hà Mai Chi
Xem chi tiết
Xem chi tiết
George H. Dalton
Xem chi tiết
Bùi Trần Huy Vũ
Xem chi tiết
Nguyễn Phước Sang
Xem chi tiết
Hoàng Nguyễn Thảo Nhi
Xem chi tiết
Đỗ Ngọc Diệp
Xem chi tiết
Kiriya Aoi
Xem chi tiết