=> |a| - |b| \(\le\)  |a + b|

- Nếu b = 0 thì |a| - |b| = |a| = |a + b|

Bây giờ chỉ còn lại 2 trường hợp với b khác 0

- Nếu a và b cùng dấu, dễ thấy: |a| - |b| < |a| < |a + b| => |a| - |b| < |a + b|

- Nếu a và b trái dấu

+ Nếu a > 0 > b, lại có: |a| > |b|        (1)

=> |a| - |b| = a - (-b) = a + b

Từ (1) => bểu thức a + b mang dấu dương, do đó |a + b| = a + b = |a| - |b|

+ Nếu b > 0 > a, lại có: |a| > |b|         (2)

=> |a| - |b| = -a - b = -(a + b)

Từ (2) => biểu thức a + b mang dấu âm, do đó |a + b| = -(a + b) = |a| - |b|

Như vậy, |a| - |b|\(\le\) |a + b|

Dấu "=" xảy ra khi b = 0 hoặc a và b cùng bằng 0 hoặc a và b trái dấu ( với b khác 0)

|a+b|=|2a|, nếu a trái dấu b thì sao

Ta có:\(\left|a\right|,\left|b\right|\) \(\leq\) \(1\)

\(\implies\) \(\left(1-a\right).\left(1-b\right)\) \(\geq\) \(0\)

\(\implies\) \(1-b-a+ab\)\(\geq\) \(0\)

\(\implies\) \(1+ab\) \(\geq\) \(a+b\)

\(\implies\) \(\left|1+ab\right|\) ​​​\(\geq\)​ \(\left|a+b\right|\) \(\left(đpcm\right)\)

chỗ nào không hiểu hỏi tớ bài này hơi khó

ai giỏi ạ

Có \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

Khai căn 2 vế

\(\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2}=\left|a+b\right|\)

Làm lại:

Ta có: |a| - |b| \(\le\)|a+b| (1)

Xét |a| - |b|\(\le\)0 => (1) đúng (*)

Xét |a| - |b| > 0 ta bình phương 2 vế của (1) được

a² - 2|a.b| + b² \(\le\)a² + 2ab + b²

<=> 2ab + 2|ab| \(\ge\)0 (2)

Xét ab < 0 thì

(2) <=> 2ab - 2ab = 0 

=> (1) đúng  (**)

Xét ab \(\ge\)0 thì 

(2) <=> 2ab + 2ab \(\ge\)0 

<=> 4ab \(\ge\)0 (đúng) (***)

Từ (*), (**), (***) suy ra (1) đúng với mọi a,b thuộc R

Cộng tác viên mà đi hỏi câu này!

Vậy nếu bạn khinh thường nó bạn có thể giải

Lời giải:

Dấu "=" không xảy ra.
Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\text{VT}\leq \frac{a+(b+1)}{2}+\frac{b+(c+1)}{2}+\frac{c+(a+1)}{2}=\frac{2(a+b+c)+3}{2}\)

\(< \frac{3(a+b+c+ab+bc+ac+abc+1)}{2}=\frac{3(a+1)(b+1)(c+1)}{2}\)

Ta có đpcm.

Lần sau bạn lưu ý đăng 1 bài 1 lần thôi. Đăng nhiều lần coi như spam và sẽ bị xóa không thương tiếc đấy nhé.