ta có 

\(A=111..1000..0+222..2+3=10^{2007}\left(1+10+..+10^{2004}\right)+2.\left(1+10+..+10^{2006}\right)+3\)

\(=10^{2007}.\frac{10^{2005}-1}{9}+2.\frac{10^{2007}-1}{9}+3=\frac{10^{2.2006}-10.10^{2006}+25}{9}=\left(\frac{10^{2006}-5}{3}\right)^2\)

rõ ràng Alà số tự nhiên nên \(\left(\frac{10^{2006}-5}{3}\right)\) là số tự nhiên, vậy ta có đpcm

11...1                    2               11..1   =   11...1                  +11...1

n chữ số                          n chữ số         n chữ số              n chữ số

                                                      =11..1*(10ⁿ+1)

                                                         n+1

số đã cho đc phân tích thành 1 thừa số lớn hơn 1 (đfcm)

vì ta đã cm nó là hợp số

=> nó ko fai nguyên tố

a/ \(2^{225}=\left(2^3\right)^{75}=8^{75}\)

\(3^{151}>3^{150}=\left(3^2\right)^{75}=9^{75}\)

Mà \(8^{75}< 9^{75}\)

=> \(2^{225}< 3^{150}< 3^{151}\)

b/ Xét n là số lẻ

=> n + 1 chẵn

=> n + 1 ⋮ 2

=> (n+1)(3n+2) ⋮2

Xét n là số chẵn

=> 3n chẵn

=> 3n+2 chẵn

=> (n+1)(3n+2) ⋮2

Do đó A = (n+1)(3n+2) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n 

Giả sử trong \(2003\)số đã cho không có số nào chia hết cho \(2003\).

Khi đó có ít nhất \(2\)số có cùng số dư khi chia cho \(2003\).

Giả sử đó là \(a=11...1\)(\(n\)chữ số \(1\)) và \(b=11...1\)(\(m\)chữ số \(1\)).

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a>b\).

Ta có: \(a-b=11...1-11...1=11...100...0\)(\(n-m\)chữ số \(1\), \(m\)chữ số \(0\)) 

\(=11...1.10^m⋮2003\)

mà ta có \(\left(10^m,2003\right)=1\)suy ra \(11...1⋮2003\)(\(n-m\)chữ số \(1\)) 

trái với điều ta giả sử. 

Do đó ta có đpcm. 

cảm ơn anh nhiều ạ