2:

a: Áp dụng tính chất của DTSBN, ta được:

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}=\dfrac{x+y+z}{2+3+4}=\dfrac{24}{9}=\dfrac{8}{3}\)

=>x=16/3; y=8; z=32/3

A=3x+2y-6z

=3*16/3+2*8-6*32/3

=16+16-64

=-32

b: Áp dụng tính chất của DTSBN, ta được:

\(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z}{7}=\dfrac{x-y+z}{5-6+7}=\dfrac{6\sqrt{2}}{6}=\sqrt{2}\)

=>x=5căn 2; y=6căn 2; y=7căn 2

B=xy-yz

=y(x-z)

=6căn 2(5căn 2-7căn 2)

=-6căn 2*2căn 2

=-24

bài 1 a)áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:\(\dfrac{a+b+c}{3+4+5}\)=\(\dfrac{24}{12}\)=2

a=2.3=6 ; b=2.4=8 ;c=2.5=10

M=ab+bc+ac=6.8+8.10+6.10=48+80+60=188

"nhưng bài còn lại làm tương tự"

\(Q=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a}}=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{a}{1+a}=\dfrac{1+a}{1+a}=1\)

ý a) sao đang \(a,b,c\) lại thành \(x,y,z\) ? :DD??

b: Đặt \(\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{7}=k\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5k\\b=7k\end{matrix}\right.\)

Ta có: ab=140

nên \(35k^2=140\)

\(\Leftrightarrow k^2=4\)

Trường hợp 1: k=2

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5k=10\\b=7k=14\end{matrix}\right.\)

Trường hợp 2: k=-2

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5k=-10\\b=7k=-14\end{matrix}\right.\)

xét |a|>=0 |b|>=0

xét |a|>=0 |b|=<0

xét |a|=<0;|b|=<0

xét |a|=<0;|b|>=0

Tiếp bạn Thịnh 

1c)

Ta có:

\(S=A\cdot B=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\)

Mà \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow S\le1+\dfrac{1}{1+2}=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=0

Câu 2:

a) Để hưởng ứng phong trào phòng chống dịch COVID-19, một chi đoàn thanh niên dự định làm 600 chiếc mũ ngăn giọt bắn trong một thời gian quy định. Nhờ tăng năng suất lao động mỗi giờ chi đoàn đó làm được nhiều hơn so với kế hoạch là 30 chiếc nên công việc được hoàn thành sớm hơn quy định 1 giờ. Hỏi theo kế hoạch 1 giờ chi đoàn đó phải làm bao nhiêu chiếc mũ ngăn giọt bắn?

Giải : Gọi số chiếc mũ làm 1 h theo dự định là x (x là số tự nhiên khác 0 )

Vì có tất cả 600 chiếc nên làm trong 600/x giờ

Vì mỗi giờ chi đoàn đó làm được nhiều hơn so với kế hoạch là 30 chiếc (x+30 chiếc) nên công việc được hoàn thành trong 600/30+x.

Vì làm sớm hơn 1  h nên ta có phương trình:

600/x = 600/(30+x)+1

<=> 600(x+30)= 600x + (x+30)x

<=> x^2+30x - 18000=0

<=> (x-120)(x+150)=0

<=> x=120 (thỏa mãn x là số tự nhiên khác 0)

A

a

A

Đặt:\(7a=3b=k\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{k}{7}\\b=\dfrac{k}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{k}{7}.\dfrac{k}{3}=20\Rightarrow\dfrac{k^2}{21}=20\Rightarrow k^2=420\Rightarrow k=\pm\sqrt{420}\)

Xét: \(k=\sqrt{420}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{\sqrt{420}}{7}\\b=\dfrac{\sqrt{420}}{3}\end{matrix}\right.\)

Xét: \(k=-\sqrt{420}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{-\sqrt{420}}{7}\\b=\dfrac{-\sqrt{420}}{3}\end{matrix}\right.\)

b) Dựa vào tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}\)

\(=\dfrac{a+b-c}{2+3-4}=\dfrac{100}{1}=100\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=100.2=200\\b=100.3=300\\c=100.4=400\end{matrix}\right.\)

c) Đặt: \(\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{7}=k\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4k\\b=7k\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4k.7k=112\)

\(\Rightarrow28k^2=112\)

\(k^2=4\Rightarrow k=\pm2\)

Xét: \(k=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2.4=8\\b=2.7=14\end{matrix}\right.\)

Xét:\(k=-2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-2.4=-8\\c=-2.7=-14\end{matrix}\right.\)

\(\text{a) }7a=3b\text{ và }ab=20\\ \text{Đặt }7a=3b=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{7}k\\b=\dfrac{1}{3}k\end{matrix}\right.\left(1\right)\\ \text{Từ }\left(1\right)\text{ suy ra : }\\ ab=20\\ \Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{7}k\right)\left(\dfrac{1}{3}k\right)=20\\ \Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{7}\cdot\dfrac{1}{3}\right)\left(k\cdot k\right)=20\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{21}k^2=20\\ \Leftrightarrow k^2=420\\ \Leftrightarrow k=\sqrt{420}\\ \text{Từ }k=\sqrt{420}\text{ suy ra : }\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{7}\cdot\sqrt{420}\\b=\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{420}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{\sqrt{420}}{7}\\b=\dfrac{\sqrt{420}}{3}\end{matrix}\right.\\ \text{Vậy }a=\dfrac{\sqrt{420}}{7};b=\dfrac{\sqrt{420}}{3}\)

\(\text{b) }\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}\text{ và }a+b-c=100\\ \text{ Theo bài ra ta có : }\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}\\ a+b-c=100\\ \text{Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được : }\\ \dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}=\dfrac{a+b-c}{2+3-4}=\dfrac{100}{1}=100\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{2}=100\\\dfrac{b}{3}=100\\\dfrac{c}{4}=100\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=200\\b=300\\c=400\end{matrix}\right.\\ \text{Vậy }a=200;b=300;c=400\)

\(\text{c) }\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{7}\text{ và }ab=112\\ \text{Đặt }\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{7}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4k\\b=7k\end{matrix}\right.\left(1\right)\\ \text{Từ }\left(1\right)\text{ suy ra : }\\ ab=112\\ \Leftrightarrow4k\cdot7k=112\\ \Leftrightarrow28k^2=112\\ \Leftrightarrow k^2=4\\ \Leftrightarrow k=2\\ \text{Từ }k=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\cdot2\\b=7\cdot2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=8\\b=14\end{matrix}\right.\\ \text{Vậy }a=8;b=14\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{c+1}=\frac{1}{c+a+b+c}=\frac{1}{(c+a)+(c+b)}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right)\)

\(\Rightarrow \frac{ab}{c+1}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}\right)\)

Tương tự:

\(\frac{bc}{a+1}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right)\)

\(\frac{ac}{b+1}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{ac}{b+a}+\frac{ac}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế các BĐT vừa thu được:

\(\text{VT}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{a+b}\right)=\frac{1}{4}(b+a+c)=\frac{1}{4}\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$