* Nếu x lẻ mà y >0 => x^y lẻ => x^y+1=z là chẵn mà z là snt => z=2

=> x^y+1=2=> x^y=1 => x=1 (vô lý vì x là số nguyên tố) => x lẻ (sai)

*Nếu x chẵn mà x là số nguyên tố => x=2 => 2^y+1=z

Quên mất ấn nhầm sory

* Nếu x lẻ mà y >0 => x^y lẻ => x^y+1=z là chẵn mà z là snt => z=2

=> x^y+1=2=> x^y=1 => x=1 (vô lý vì x là số nguyên tố) => x lẻ (sai)

*Nếu x chẵn mà x là số nguyên tố => x=2 => 2^y+1=z

+) y=2 => 2^2+1=z => z=5 (t/m)

+)y>2 mà y là snt => y lẻ => y=2k+1 => z= 2^(2k+1)+1 =4^k.2 +1

Ta có :4 chia 3 dư 1 => 4^k chia 3 dư 1 => 4^k.2 chia 3 dư 2=> z chia hết cho 3 

                                                                                                 mà z>2^2 +1>3

=>z o là snt => y>2 (sai).

Vậy x=2,y=2,z=5

x^y+1= x ⇒ x > 2 ⇒x lẻ ⇒x^y + 1 lẻ ⇒ x chẵn ⇒ x = 2

Với y=2  ⇒ x = 5 (thỏa mãn)

Với y > 2 : 2^y + 1 : 2 +1 ⇔ x⋮3 vì z là số nguên tố lớn hơn 3 mà z ⋮ 3 nên trường hợp này ko tồn tại. x,y,z thỏa mãn đề bài ( 2y+1⋮2 vì y lẻ)

Vậy (x,y,z)=(2,2,5)

Hok Tốt !

# mui #

a) \(\left(x+2\right)y^2+1=x\Leftrightarrow xy^2+2y^2+1-x=0\Leftrightarrow2y^2+1=x-xy^2\Leftrightarrow2y^2+1=x\left(1-y^2\right)\Leftrightarrow x=\frac{2y^2+1}{1-y^2}=-\frac{2y^2+1}{y^2-1}\)

\(=-2+\frac{3}{y^2-1}\)

Để \(x\in Z\)thì \(y^2-1\inƯ\left(3\right)=\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left\{\left(1;0\right)\right\}\)

sai đề

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số x;y;z luôn có 2 số cùng phía so với \(\dfrac{1}{2}\)

Không mất tính tổng quát, giả sử đó là y và z 

\(\Rightarrow\left(y-\dfrac{1}{2}\right)\left(z-\dfrac{1}{2}\right)\ge0\Leftrightarrow yz-\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)+\dfrac{1}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow y+z-yz\le\dfrac{1}{2}+yz\)

Mặt khác từ giả thiết:

\(1-x^2=y^2+z^2+2xyz\ge2yz+2xyz\)

\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(1+x\right)\ge2yz\left(1+x\right)\)

\(\Leftrightarrow1-x\ge2yz\)

\(\Rightarrow yz\le\dfrac{1-x}{2}\)

Do đó:

\(A=yz+x\left(y+z-yz\right)\le yz+x\left(\dfrac{1}{2}+yz\right)=\dfrac{1}{2}x+yz\left(x+1\right)\le\dfrac{1}{2}x+\left(\dfrac{1-x}{2}\right)\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow A\le-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{5}{8}\le\dfrac{5}{8}\)

\(A_{max}=\dfrac{5}{8}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)